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Sur les familles normales de fonctions analytiques. (French) JFM 46.0519.01
Der Verf. zeigt, wie sehr der Begriff der normalen Familie geeignet ist, den ordnenden Gesichtspunkt für eine Reihe bekannter Tatsachen aus dem Picardschen Ideenkreise und der Konvergenztheorie der Folgen analytischer Funktionen abzugeben und darüber hinaus zu neuen Ergebnissen zu führen. In diesem Sinne ist die vorliegende Arbeit als Fortsetzung und Vertiefung einer früheren Arbeit des Verf. (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 29, 487; F. d. M. 43, 509 (JFM 43.0509.*); 1912) anzusehen.
Eine Familie \(F\) (d. h. eine Menge) von Funktionen, die in einem beschränkten Bereiche \(D\) holomorph sind, heißt daselbst normal, wenn jede in \(F\) enthaltene unendliche Funktionsfolge eine Teilfolge besitzt, die innerhalb \(D\) gleichmäßig konvergiert gegen eine endliche (also reguläre) Grenzfunktion oder gegen \(\infty\). Im Kap. I werden die Eigenschaften der normalen Familien holomorpher Funktionen systematisch entwickelt; folgende Resultate seien als besonders bemerkenswert hervorgehoben: Die Tatsache, daß die Funktionen einer Familie \(F\), deren Werte in einem Punkte von \(D\) unter einer festen Schranke liegen, gleichmäßig beschränkt sind in jedem inneren Teilbereiche von \(D\), zeigt die sog. Carathéodorysche Ungleichung in einem neuen Lichte. Eine Familie von Funktionen \(f(x)\) ist normal, 1. wenn bei jedem inneren Teilbereiche von \(D\) die durch die \(f(x)\) gelieferten Bildbereiche dem Inhalt nach unter einer festen Schranke liegen, 2. wenn jedes \(f(x)\) die Werte 0, 1 ausläßt. Letzteres folgt daraus; daß der elementare Weg Borels, auf dem man bei einer einzelnen Funktion zum kleinen Picardschen Satze gelangt, bei einer Familie zum Satze von Schottky nebst: dessen (hier wesentlicher) Verschärfung von Landau führt.
Kap. II behandelt den Wertvorrat analytischer Funktionen in der Nähe singulärer Punkte: Wenn \(f(x)\neq 0\) in einer Umgebung der isolierten wesentlich singulären Stelle \(x=0\), und \(r_1\geqq r_2\geqq r_3\geqq\dots\) die Beträge der verschiedenen Wurzeln der Gleichung \(f(x)=0\) sind, so ist \(r_{n+1}/r_n\to 1\). Es folgen weitere Betrachtungen über isolierte und auch gewisse nicht-isolierte singuläre Stellen, sowie Sätze über die Grenz- und Häufungswerte von Funktionen, die in einem Winkelraum mit dem Scheitel \(x=0\) regulär sind, wenn \(x\to 0\) auf Strahlen.
Kap. III betrachtet normale Familien gewisser Polynome, die für die Theorie der ganzen Funktionen von Bedeutung sind.
Kap. IV ist den normalen Familien von meromorphen Funktionen gewidmet. Als Anwendung ergibt sich: Wenn \(m,n,p\) positive ganze Zahlen sind, und \(\frac 1m+\frac 1n+\frac 1p<1\), so gibt es keine drei ganzen Funktionen einer Variablen, welche die Identität \(X^m+Y^n+Z^p=0\) erfüllen. (Vgl. dazu Sätze von A. Korselt und W. Richter über Polynome; F. d. M. d. Bd. S. 137.)

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Full Text: DOI Numdam EuDML