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Sur la représentation conforme. (French) JFM 46.0548.03
Sei \((D)\) ein beschränktes einfach zusammenhängendes (offenes) Gebiet in der schlichten Ebene der komplexen Variablen \(z\) und es sei \((d)\) die Fläche des Einheitskreises. Der Verf. beschäftigt sich mit dem viel behandelten Problem der konformen Abbildung von \((D)\) auf \((d)\). In dem ersten Kapitel der ausführlichen Arbeit wird zuerst die Möglichkeit und Einzigkeit der konformen Zuordnung der inneren Punkte der beiden Gebiete dargetan. Den Ausgangspunkt bildet die Bemerkung, daß, wenn man \((D)\) durch eine Folge von Gebieten \((D_n)\) approximiert, von denen man weiß, daß sie auf \((d)\) onform abgebildet werden können, die zugehörigen analytischen Funkionen \(f_n(z)\) und die hierzu inversen Funktionen je eine “normale Funktionenfamilie” (“famille normale”) bilden. Dies besagt, daß aus einer jeden Teilfolge eine weitere Teilfolge ausgesondert werden kann, die gleichmäßig konvergiert. Auf demselben Grundgedanken beruht übrigens eine schon früher von Bieberbach gegebene Behandlung desselben Gegenstandes (F. d. M. 44, 760 (JFM 44.0760.*), 1913).
In dem zweiten und dem dritten Kapitel wird die Zuordnung der Ränder von \((D)\) und \((d)\) studiert. Der Verf. stützt sich hier wesentlich auf dun folgenden Satz. Sei \((E)\) ein beschränktes einfach zusammenhängendes Gebiet, dessen Rand \((e)\) einen analytischen und regulären Kurvenbogen \(\lambda\mu\) enthält. Sei \(f_1(z),f_2(z),\dots\) eine Folge in \((E)\) erklärter analytischer und regulärer Funktionen, die auf \(\lambda\mu\) stetig sind. Sind die Funktionen \(f_n(z)\) in ihrer Gesamtheit besehränkt und konvergieren sie gleichmäßig auf \(\lambda\mu\), so konvergieren sie auch gleichräßig in jedem abgeschlossenen Gebiete, dessen innere Punkte im Innern von \((E)\) liegen und dessen Rand einen Teil \(\lambda'\mu'\) von, \(\lambda\mu\) enthalten kann.

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Full Text: EuDML