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Neuer Beweis eines Koebe-Bieberbachschen Satzes über konforme Abbildung. (German) JFM 46.0550.01

Münch. Ber. 1916, 39-42 (1916).
Der Satz kann so ausgesprochen werden: Bildet die Funktion \(w=\varphi(z)=\alpha z+\alpha_0+\frac{\alpha_1}{z}+\cdots\) das Äußere des Einheitskreises \(| z| <1\) schlicht ab auf einen Bereich, der auf dem Rande zwei Punkte \(\omega_1,\omega_2\) von der Distanz enthält, etwa \(\omega_1=-2,\omega_2=2\), so ist \(| \alpha| \geqq 1\) und nur dann gleich 1, wenn der Bereich von der Strecke \(\omega_1,\omega_2\) begrenzt wird, in welchem Falle die Funktion die Gestalt hat \(\varphi(z)=\varepsilon z+\frac{1}{\varepsilon z}(| \varepsilon| =1)\) (vgl. das vorst. Ref.). Beweisverfahren: Setzt man \(\omega=u+\frac 1u\) und in der so gewonnenen Funktion \(z=\zeta^4,u=v^4\), so hat die so entstehende Funktion \(v=\chi(\zeta)=\beta\zeta\beta_0+\frac{\beta_1}{\zeta}+\cdots \) folgende Eigenschaften:
Sie bildet \(| \zeta| >1\) schlicht ab,
2. es ist \(\beta_0=\beta_1=\beta_2=0\),
3. \(| \beta| =| \alpha| ^{\frac 14}\),
4. der (äußere) Inhalt \(J\) des Komplements des Bildbereichs ist \(\geqq\pi\),
5. auf Grund von 2. beweist endlich der Verf. in Anlehnung an einen Bieberbachschen Gedankengang (Palermo Rend. 38, 98, 1914): \(J\leqq| \beta| ^2\pi\) mit Gleichheitszeichen nur im Fall \(\psi(\zeta)=\beta\zeta\).
Daraus ergibt sich unmittelbar die Richtigkeit des Satzes.