Sur les zéros des fonctions \(P(z)\) et \(Q(z)\) associées à la fonction gamma. (French) JFM 46.0563.05

Gronwall, T. H.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 33, 381-393 (1916).

Es handelt sich um die bekannte meromorphe Funktion \[ P(z)=\int_0^1 e^{-u}u^{z-1}du=\sum_{\nu=0}^\infty \frac{(- 1)^\nu}{\nu!}\frac{1}{z+\nu} \] und die ganze Funktion \[ Q(z)=\int_0^\infty e^{-u}u^{z-1}du=\Gamma(z)-P(z). \] Als Verschärfung von Resultaten, die L. Bourguet (C. R. 96, 1307 = Acta Math. 2, 296; F. d. M. 16, 232 (JFM 16.0232.*), 1883) und C. N. Haskins American M. S. Trans. 16, 405; F. d. M. 45, 676 (JFM 45.0676.*), 1914-15) erhalten haben, ergibt sich mit einfachen Mitteln der Satz: \(P(z)\) besitzt für \(m=2,3,4,\dots\) in jedem der Intervalle \[ z=-2m-1-\frac{\zeta}{(2m)!},z=-2m-2+\frac{\zeta}{(2m+1)!}\;(1\leqq\zeta\leqq 6) \] genau eine einfache Wurzel und hat außerdem nur zwei Paare konjugiert komplexer Wurzeln mit \[ -\frac{17}{4}\leqq{\mathfrak R}(z)\leqq-\frac 32,\;0<| {\mathfrak I}(z)| \leqq \frac{11}{2}. \] Ferner wird aus einer noch nicht erschienenen Arbeit von J. L. W. V. Jensen ein Teilresultat bewiesen, wonach \(Q(z)\) unendlichviele Nullstellen besitzt.

Reviewer: Neder, Dr. (Leipzig)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. A. Elementare Funktionen. Die \(\Gamma\)-Funktion und verwandte Funktionen.

Citations:

JFM 16.0232.*; JFM 45.0676.*