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Sur deux polynomes associés aux polynomes de Legendre. (French) JFM 46.0572.04

Wenn \(P_n\) das Legendresche Polynom \(n\)-ter Ordnung und \(P_n'\) seine Ableitung bedeutet, so werden durch die Identität \(A_n(z)P_n(z)+B_n(z)P_n'(z)=1\) zwei Polynome \(A_n\) und \(B_n\) vom Grade \((n-2)\) bzw. \((n-1)\) definiert. Auf Grund der Identitäten \[ P_{n-1}B_n-P_nB_{n-1}+\frac{z^2-1}{n}=0\;\text{ und }P_{n+1}B_{n-1}-P_{n-1}B_{n+1}=\frac{2n+1}{n(n+1)}z(z^2-1), \] deren Bestehen durch Einsetzen der Werte für die Nullstellen der entsprechenden Logendreschen Polynome bewiesen wird, ergibt sich, daß \(B_n\) derselben Rekursionsformel genügt, der auch die Legendresche Funktion und die Kugelfunktion zweiter Art genügt. Aus ähnlichen Betrachtungen folgen die Beziehungen zwischen \(A_n\) und den Ableitungen der Kugelfunktionen erster und zweiter Art. Hierauf führt der Verf. analoge Schlüsse durch für die allgemeinen Gegenbauerschen Polynome, für die Polynome von Jacobi und Hermite, sowie für eine von Appell (Ann. de l’Éc. Norm. 9, 119, 1880 studierte Klasse von Polynomen. (Vgl. das vorst. Ref.)
Reviewer: Funk, Prof. (Prag)

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Full Text: DOI Numdam EuDML