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Ein Beitrag zur Theorie der Polynome von Laguerre und Jacobi. (German) JFM 46.0583.04

Mit Hilfe der für die Laguerreschen Polynome \(L_\nu(\zeta)\) geltenden Beziehung
\[ e^{-\zeta}L_\nu(\zeta)=\frac{1}{\nu!}D^{(\nu)}e^{- \zeta}\zeta^\nu\;(\nu=0,1,2,\dots) \]
wird die Ungleichheit bewiesen:
\[ e^{-\frac\zeta 2}| L_\nu(\zeta)| <1\text{ für }\zeta>0\text{ und }\nu=0,1,2,\dots. \tag{*} \]
Dieses Resultat wird verallgemeinert auf gewisse Polynome \(L_\nu^{(k)}(\zeta)\), aus denen sich die früher betrachteten für \(k=0\) ergeben. Als Anwendung der Beziehung (*) folgt eine Ungleichung für nichtnegative Polynome.
Des weiteren wird ein Zusammenhang gewisser Jacobischer Polynome \(P_n^{(k)}(x)\) mit den Laguerreschen Polynomen aufgedeckt; \(P_n^{(0)}(x)\) sind die Legendreschen Polynome. Sodann wird die von I. Schur vermutete Ungleichung
\[ |x^kP_n^{(k)}(x)| <1\text{ für }| x| <1,k>0,n=0,1,2,\dots \]
für \(k=m+\frac 12\) (\(m\) ist positiv ganz) bewiesen.

MSC:

33C45 Orthogonal polynomials and functions of hypergeometric type (Jacobi, Laguerre, Hermite, Askey scheme, etc.)
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References:

[1] Die Bedingung b) ist mit der folgenden äquivalent: $$\(\backslash\)int\(\backslash\)limits_0\^\(\backslash\)infty {e\^{ - \(\backslash\)zeta } L_v (\(\backslash\)zeta )\(\backslash\)zeta \^\(\backslash\)varrho d\(\backslash\)zeta = 0,(v \(\backslash\)geqq 1;\(\backslash\)varrho = 0, 1,..., v - 1)} $$ und hieraus folgt bekanntlich, daß alle Wurzeln vonL v (?) positiv sind. Die NormierungL v (0)=1 ist also stets möglich.
[2] Ich bezeichne im folgenden diev-te Derivierte vonf(x) mitD (v) f (x).
[3] Es gilt sogar der Satz: $$\(\backslash\)sum\(\backslash\)limits_{h = 0}\^\(\backslash\)infty | \(\backslash\)alpha _h (\(\backslash\)zeta )|\^2 r\^{2h} = \(\backslash\)frac{1}{{2\(\backslash\)pi }}\(\backslash\)int\(\backslash\)limits_0\^{2\(\backslash\)pi } | f_v (x + re\^{i\(\backslash\)Theta } )|\^2 d\(\backslash\)Theta&lt; \(\backslash\)mathop {Max,}\(\backslash\)limits_{| z | = r} |f_v (x + z)|\^2 (r &gt; 0).$$
[4] Alle Wurzeln vonL v (k) (?) sind positiv. Vgl. 1).
[5] Alle Wurzeln vonP n (k) liegen im Innern des Intervalls ?1?x?1. Vgl. 1).
[6] Eigentlich nur $$P_{2v}\^{(k)} \(\backslash\)left( {\(\backslash\)sqrt x } \(\backslash\)right)$$ ; s. unten.
[7] Vgl. C. Jordan, Cours d’analyse. Zweite Auflage, Paris (Gauthier-Villars), 1896, Bd. 3. S. 231?233.
[8] Vgl. Jordan, loc. cit.7)..
[9] Diese Vermutung hat die Veranlassung zu den vorangehenden Untersuchungen gegeben.
[10] Hier kommt zum Vorschein, daß die Einschränkungk=m+1/2 wesentlich ist; sonst wird nämlichF v (k) (z) fürz=0 singulär und man kann daher den Cauchyschen Satz nicht anwenden.
[11] Wennk=1/2, d. h. ?=v ist, so sollx&gt;0 sein.
[12] Es ist zu beachten, daß, wenn $$\(\backslash\)mathop {\(\backslash\)lim }\(\backslash\)limits_{k = \(\backslash\)infty } k \(\backslash\)left( {1 - x_k } \(\backslash\)right) = \(\backslash\)zeta $$ $$\(\backslash\)mathop {\(\backslash\)lim }\(\backslash\)limits_{k = \(\backslash\)infty } k \(\backslash\)sqrt {\(\backslash\)frac{v}{\(\backslash\)mu }x_k (1 - x_k )} = \(\backslash\)sqrt {v\(\backslash\)zeta } $$ $$\(\backslash\)mathop {\(\backslash\)lim }\(\backslash\)limits_{k = \(\backslash\)infty } k \(\backslash\)left( {\(\backslash\)sqrt {x_k } - x_k } \(\backslash\)right) = \(\backslash\)frac{\(\backslash\)zeta }{2}$$ wird. Vgl. § 2 und § 5.
[13] Diese Relation rührt von Jacobi her. Vgl. E. Heine, Theorie der Kugelfunktionen; Zweite Auflage, Berlin 1878, Bd. 1, S. 155.
[14] Eigentlich eine Verallgemeinerung derselben.Vgl. 8)..
[15] Vgl. § 6, Fall a).
[16] Es ist, wie aus bekannten Formeln leicht folgt, $$\(\backslash\)frac{1}{{2\(\backslash\)pi }}\(\backslash\)int\(\backslash\)limits_0\^{2\(\backslash\)pi } {\(\backslash\){ 1 - } \(\backslash\)cos \^2 \(\backslash\)vartheta (1 - u\^2 )\(\backslash\)} \^v d\(\backslash\)vartheta = \(\backslash\)frac{1}{{2\(\backslash\)pi }}\(\backslash\)int\(\backslash\)limits_0\^{2\(\backslash\)pi } {(sin\^2 \(\backslash\)vartheta + u\^2 } \(\backslash\)cos \^2 \(\backslash\)vartheta )\^v d\(\backslash\)vartheta = u\^v P\^v \(\backslash\)left( {\(\backslash\)frac{{u + \(\backslash\)frac{1}{u}}}{2}} \(\backslash\)right).$$
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