×

zbMATH — the first resource for mathematics

Arithmetische Theorie der verzweigten multiplikativen Funktionen und Differentiale. (German) JFM 46.0593.03
Gegeben sei ein algebraisches Gebilde vom Geschlechte \(p\). Eine verzweigte multiplikative Funktion ist dann durch folgende Eigenschaften bestimmt: Sie besitzt relativ zur Riemannschen Fläche \(\mathfrak R\) des Gebildes überall den Charakter einer rationalen Funktion mit Ausnahme von endlich vielen Stellen (Stigmata) wo sie relativ zu \(\mathfrak R\) verzweigt ist. Bei Umkreisung der Stigmata und beim Überschreiten der Querschnitte von \(\mathfrak R\) multipliziert sich die Funktion je mit einem konstanten Faktor. Die Funktionen mit gleichen Faktoren bilden eine Klasse. Mit “transzendenten” Mitteln ist der Gegenstand mehrfach behandelt (vgl. besonders Hurwitz, Math. Ann. 41, F. d. M. 24, 380 (JFM 24.0380.*), 1892; E. Ritter, Math. Ann. 44, F. d. M. 25, 723 (JFM 25.0723.*), 1894). Hier wird (im Anschlug an die von Hensel und Landsberg für die algebraischen Funktionen entwickelten Methoden) eine arithmetische Theorie gegeben. Diese gründet sich auf die Tatsache, daß einander ein-eindeutig entsprechen: die geeignet normierten multiplikativen, verzweigten Funktionen (bzw. Differentiale) (sog. “primäre” Funktionen und Differentiale) und die “verzweigten” Divisoren der Ordnung 0 (bzw. \(2p-2\)). Ein transzendentes Kriterium für die Zugehörigkeit eines bestimmten Divisors (der Ordnung Null) zu einer bestimmten Gattung oder Klasse von Funktionen wird durch das sog. “verallgemeinerte Abelsche Theorem” geliefert. Die Untersuchung der Divisorenklassen der Ordnungen 0 und \(2p-2\) liefert den “verallgemeinerten Riemann-Rochschen Satz”, welcher die entsprechenden Sätze von Hurwitz und E. Ritter als Spezialfälle enthält; ferner ergeben sich zwei weitere Anzahltheoreme (“Reziprozitätstheoreme”) betreffend die Funktionen (bzw. Differentiale) zweier reziproker Klassen. Der Begriff des “Multiplums eines Divisors” spielt in allen Anzahltheoremen die wesentliche Rolle.
Schließlich wird der weitere Aufbau der Theorie kurz skizziert. Der erste Teil der Arbeit enthält eine Theorie der Divisoren.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Crelle EuDML