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Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. Erster Teil: Die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen. (German) JFM 46.0599.02
Leipzig und Berlin: B. G. Teubner, X u. 500 S. \(8^\circ\) (1916).
Über den Charakter und die Anlage des auf drei Bände berechneten Werkes äußert sich der Verf. in dem Vorwort wie folgt: “Bei der einige Jahre zurückliegenden Abfassung des Referates “Elliptische Funktionen” für den zweiten Band. der Encykl. d. math. Wiss, habe ich es als eine reizvolle Aufgabe empfunden, die Grundsätze, nach welchen ich den vierten und fünften Abschnitt des Referates \(\dots\) entwickelt habe, bei einer umfassenden Lehrbuchdarstellung der Theorie der elliptischen Funktionen zu verwerten. Als die beiden wichtigsten Gesichtspunkte erscheinen mir hierbei erstens die starke Hervorhebung der algebraischen Grundlage, zweitens die Einordnung des Ganzen in die Stufentheorie von F. Klein.” “Daß ich, was die Methode der Darstellung, die Verwertung der Invariantentheorie, der Gruppentheorie, der geometrischen Anschauung usw. angeht, den Grundsätzen getreu geblieben bin, welche ich mir in einem mehr als 30jährigen engen wissenschaftlichen Verkehr mit meinem Lehrer und Freunde F. Klein zu eigen gemacht habe, darf ich als selbstverständlich ansehen.”
Der erste Band bringt die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen, indem er die Theorie der elliptischen Funktionen erster und zweiter Stufe entwickelt. Der mittlerweile erschienene zweite Band enthält algebraische und arithmetische Ausführungen. Der dritte Band wird den geometrischen und mechanischen Anwendungen gewidmet. Für die vorliegende Besprechung kommt nur der erste Band in Betracht. Er gliedert sich in drei Hauptteile. Der erste, einleitende Teil (S. 1-115) bringt die Hauptsätze der Theorie analytischer Funktionen, soweit diese bei der Behandlung der elliptischen Funktionen zur Anwendung kommen. Die Beweise sind meist kurz gefaßt, stellenweise nur angedeutet. Neben den Elementen findet man Ausführungen über lineare Transformationen, algebraische Funktionen, Riemannsche Flächen (insbesondere für \(p=0\) und \(p=1\)), die Produktdarstellung der ganzen transzendenten Funktionen, die hypergeometrische Differentialgleichung. Der zweite Teil (erstes Kapitel, S. 116-339) behandelt die Grundlagen der Theorie elliptischer Funktionen erster Stufe. Die elliptischen Funktionen werden im Gegensatz zu der jetzt meist üblichen Art nicht direkt, sondern als Umkehrung der elliptischen Integrale erster Gattung eingeführt. Die Darstellung beginnt mit algebraischen Betrachtungen: der Behandlung der “Verzweigungsform”, ihrer Invarianten und ihrer Normalgestalt erster Stufe, und zwar unter durchgehender Benutzung “homogener Schreibweise”, indem \(z=\frac{z_1}{z_2}\) gesetzt wird. Es folgt ein Exkurs über endliche Gruppen linearer Substitutionen, an den sich Betrachtungen über lineare Transformationen der Verzweigungsform in sich und der Nachweis der Irrvarianz der Größe \(J\) gegenüber beliebigen rationalen Transformationen der Riemannschen Fläche \(F_2\) anschließen. Im Anschluß an Klein werden jetzt unter Wahrung des invarianten Charakters der Formeln die drei Gattungen der elliptischen Integrale, insbesondere die Elementarintegrale entwickelt. Es folgen die Integrale erster Stufe in der Weierstraßschen Normalform, ihr Zusammenhang mit den Elementarintegralen, Perioden elliptischer Integrale, die diese verknüpfenden Beziehungen, u. a. die Legendresche Relation, transzendent normierte Integrale zweiter und dritter Gattung. Jetzt wird der Übergang zu den elliptischen Funktionen vorbereitet, indem (im zweiten Kapitel) die durch das elliptische Integral erster Stufe \(u\) bei Gebrauch spezieller Querschnitte vermittelten Abbildungen der Riemannschen Fläche \(F_2\) eingehend untersucht werden. Das “reduzierte Querschnittsystem” ergibt das “reduzierte Periodenpaar” \(\omega_1,\omega_2\). Der Periodenquotient \(\omega=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\xi+i\eta\) erfüllt die Ungleichheiten \(0\geqq\zeta\geqq -1,\;\xi^2+\eta^2+\xi\geqq 0\). Bei birationalen Transformationen der \(F_2\) bleibt \(\omega\) invariant, der kontinuierlichen Gruppe der Transformationen der \(F_2\) in sich entspricht \(1-\infty\)-deutig die kontinuierliche Gruppe aller Translationen der \(u\). Ebene in sich. Das elliptische Integral \(u\) erscheint als “uniformisierende” Variable der Riemannschen Fläche \(F_2\) (Kapitel III). Jetzt wird der Übergang zu den elliptischen Funktionen vollzogen. Von den bereits bekannten Eigenschaften von \(u\) ausgehend werden kurz die Haupteigenschaften der Weierstraßschen Funktionen \(\wp,\zeta\) und \(\sigma\) entwickelt. Es finden sich u. a. einige Additionsformeln sowie die Formeln zur Darstellung beliebiger ehiptischer Funktionen einerseits durch die Funktionen \(\zeta,\wp,\wp',\wp'',\dots\), andererseits durch die \(\sigma\)- Funktionen. An dieser Stelle wird auf das Abelsche Theorem in seiner Anwendung auf elliptische Integrale erster Gattung hingewiesen. Des weiteren bringt dieses Kapitel noch Ausführungen über elliptische Funktionen zweiter und dritter Art und über Anzahltheoreme betreffend elliptische Funktionen mit vorgegebenen Polen. Während bisher die Riemannsche Fläche und die elliptischen Integrale den Ausgangspunkt bildeten, werden in dem jetzt folgenden vierten Kapitel die elliptischen Funktionen als meromorphe, doppelt periodische Funktionen direkt eingeführt. Vorausgeschickt werden eingehende Betrachtungen über die “Substitutionsgruppe” der doppeltperiodischen Funktionen und ihre Transformationen in sich. Es folgen die allgemeinen Residuensätze, die Definition der Funktionen \(\wp(u)\) und \(\zeta(u)\) durch die Partialbruchreihen, ihre Entwicklung in Fouriersche Reihen und die Ausartungen. Das fünfte Kapitel beschäftigt sich mit den elliptischen Modulfunktionen erster Stufe und den zugehörigen inversen Funktionen: die Modulgruppe, die elliptischen Modulfunktionen und Modulformen erster Stufe, elliptische Funktionen erster Stufe als Funktionen der drei Argumente \(\omega_1,\omega_2,u\), Differentialgleichungen der Perioden in bezug auf die Irrvarianten, Inversion der Modulfunktionen, der Zusammenhang mit der hypergeometrischen Differentialgleichung.
Damit ist die Theorie der elliptischen Funktionen erster Stufe zu einem gewissen Abschluß gekommen. Der Verf. wendet sich jetzt in dem dritten Hauptteil des Bandes (S. 340-500) den elliptischen Funktionen zweiter Stufe zu. Die Betrachtungen gehen denjenigen des zweiten Hauptteils vielfaeh parallel. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit den Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der Verzweigungsform und der elliptischen Integrale. Es beginnt mit Betrachtungen über die einfachsten irrationalen Invarianten der Verzweigungsform und ihren Zusammenhang mit den rationalen Irrvarianten und schließt mit den Legendreschen Normalintegralen ab. Das nächste Kapitel ist den elliptischen Funktionen zweiter Stufe gewidmet. Eingeleitet wird das Kapitel durch allgemeine Ausführungen über das Kleinsche Prinzip der Stufeneinteilung. Es werden dann die Funktionen \(\sqrt{\wp(u)- e_k},\sigma_k(u),\text{ sn }w,\text{ cn }w,\text{ dn }w\) eingeführt und für die drei letztgenannten Ausdrücke als Quotienten zweier ganzen transzendenten Funktionen abgeleitet. Es folgen Produktentwicklungen elliptischer Funktionen zweiter Stufe, Fouriersche Reihen für \(\text{ sn }w,\text{ cn }w, \text{ dn }w\), für \(\sigma_1(u),\sigma_2(u),\sigma_3(u)\) und die Thetafunktionen. Das letzte, dritte Kapitel dieses Abschnittes und damit des ganzen Bandes behandelt Modulfunktionen zweiter Stufe. Diese Betrachtungen verlaufen zum Teil parallel zu den Betrachtungen des Schlußkapitels des vorhergehenden Abschnittes. Es finden sich hier u. a. Ausführungen über Modulfunktionen höherer Stufe in der Theorie der elliptischen Funktionen und als wirkungsvoller Abschluß eine Anwendung der vorgetragenen Lehren auf die Gaußschen Summen.

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. D. Elliptische Funktionen nebst Anwendungen auf die Geometrie und Mechanik. Elliptische Modulfunktionen.