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On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients. (English) JFM 46.0644.03

Ist \[ f(z)=\prod_{\nu=1}^\infty (1- \frac{z}{a_\nu})=\sum_{\nu=1}^\infty c_\nu z^\nu \] eine ganze Funktion der Höhe Null, so betrachtet der Verf. den Differentialoperator \[ A=\prod_{\nu=1}^\infty (1- \frac{D}{a_\nu})=\lim_{n=\infty}\prod_{\nu=1}^n(1- \frac{D}{a_\nu}). \] Es zeigt sich, daß \(A\varphi(z)\) im Innern jedes Bereiches, in dem \(\varphi(z)\) analytisch ist, konvergiert, und gegen denselben Grenzwert konvergiert auch \(A_1\varphi(z)\), wenn \(A_1\) den Differentialoperator \[ A_1=\sum_{\nu=1}^\infty c_\nu D^\nu=\lim_{n=\infty}\sum_{\nu=1}^\infty c_\nu D^\nu \] bezeichnet. Im zweiten Teil wird die lineare Differentialgleichung \(A\varphi(z)=0\) untersucht. Sie hat konstante Koeffizienten, und ihre Integrale lassen sich analog wie bei Differentialgleichungen endlicher Ordnung in der Form \(\sum_{\nu=1}^\infty b_\nu e^{a_\nu z}\) aufstellen. Diese Reihen brauchen aber das Integral nicht im ganzen Existenzbereich darzustellen. Als eine hinreichende Bedingung, daß das doch der Falt ist, findet der Verf. \[ \lim_{\nu=\infty}\inf \nu\left(\left| \frac{a_{\nu+1}}{a_\nu}\right| -1\right)>0. \]

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