Invarianten beliebiger Differentialausdrücke. (German) JFM 46.0675.01

Noether, E.

Gött. Nachr. 1918, 37-44 (1918).

Während die bisher bekannten weitergehenden Untersuchungen über Differentialinvarianten sich fast ausschließlich auf quadratische Differentialformen beziehen, wird hier ein beliebiger Differentialausdruck zugrunde gelegt, d. h. eine Funktion \(f(x,dx)\), die nur analytisch in den \(x_1,\dots,x_n\) und den \(dx_1,\dots,dx_n\) vorausgesetzt wird. Für die Invarianten eines solchen Differentialauadrucks wird der (für quadratische Differentialformen bekannte) “Reduktionssetz” bewiesen; d. h. es wird ein solches System von invarianten Bildungen aufgestellt, daßalle Differentialinvarianten projektive Invarianten dieses vollständigen Systems werden, wodurch die Fragen nach der Gesamtheit der Invarianten und nach der Äquivalenz auf Fragen der linearen Invariantentheorie zurückgeführt sind. Die Funktionen des vollständigen Systems entstehen aus der “Normalform der \(\rho\)-ten Variation” durch Anwendung invarianter Variationsgleichungen, in Verallgemeinerung der Riemannschen Definition der Krümmungsform. Diese invarianten Variationsgleichungen führen auch zu der kovarianten Ableitung, wie dies Lipschitz (F. d. M. 2, 129 (JFM 02.0129.*), 1869-70) für quadratische Formen gezeigt hat. Der Beweis des Reduktionssatzes wird unter Benutzung der von Riemann für quadratische Formen eingeführten “Normalkoordinaten” geführt; das sind solche Koordinaten, welche die von einem Punkt auslaufenden Extremalen des zugehörigen Variationsproblems in Gerade transformieren.
Insbesondere werden noch notwendige und hinreichende Bedingungen für die Transformierbarkeit auf Differentialausdrücke mit konstanten Koeffizienten aufgestellt; Bedingungen, die für quadratische Formen auf das bekannte Verschwinden der Krümmungsform herauskommen.
Für quadratische Differentialformen wurde der Reduktionssatz im Anschlußan Christoffel (F. d. M. 2, 128 (JFM 02.0128.*), 1869-70) schon von Ricci (F. d. M. 18, 102 (JFM 18.0102.*), 1886) aufgestellt, aber durch schwer übersehbare Eliminationsprozesse, die eine Verallgemeinerung nicht zulassen. Die obige Arbeit zeigt den Vorzug der Methoden der Varrationsrechnung gegenüber diesen formalen Methoden. (IV 15.)

Reviewer: Noether, E., Prof. (Göttingen)

JFM Section:

Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Differentialausdrücke und Differentialinvarianten. Allgemeine Integrationsmethoden. Gruppentheoretische und funktionentheoretische Behandlung.

Citations:

JFM 02.0129.*; JFM 02.0128.*; JFM 18.0102.*