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Sur les polynomes se rattachant à l’équation différentielle \(y''=6y^2+x\). (French) JFM 46.0684.01
Boutroux (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 30, 336, 1913) hat gezeigt, daß bei der Integration der ersten Painlevéschen Differentialgleichung \(y''=6y^2+x\) durch Reihen die Glieder, deren Exponenten Vielfache von 5 sind, eine bemerkenswerte Rolle spielen. Der Verf. betrachtet die Partikularlösung \[ y=\frac{1}{x^2}+x^3(a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n- 1}+\cdots); \] \(a_2\) bleibt willkürlich \((a_2=h)\), während für \(n\equiv p (\text{mod.} 5, p=1,2,3,4,5),\;a_n=h^{p-1}P_n(h^5)\) ist, worin \(P_n\) ein Polynom bedeutet, das nur Potenzen von \(h^5\) enthält, und dessen numerische Koeffizienten das Vorzeichen \((-1)^n\) besitzen. Ersetzt man \(x\) durch \(\omega x(\omega^5=1)\) und \(h\) durch \(\omega^4 h\), so wird \(y\) durch \(\omega^3y\) ersetzt. Für \(h=0\) (vgl. Boutroux a. a. O.) erhält man die Partikularlösung \(Y=\frac{1}{x^2}+x^3\varphi(x^5)\); die numerischen Koeffizienten \(a_n (n=5k-2)\) bestimmt man aus der Beziehung \(Y''_1=12 YY_1\), worin \(Y_1=\left(\frac{\partial y}{\partial h}\right)_{h=0}\) ist.
Ähnliche Resultate ergeben sich für die zweite Painlevésche Gleichung \(y''=2y^3+xy+\alpha\); nur spielt hier die Zahl 3 eine analoge Rolle wie die Zahl 5 bei der ersten Gleichung; in der Tat bleibt die zweite Gleichung ungeändert, wenn \(x\) durch \(\omega x(\omega^3=1)\) und \(y\) durch \(\omega^2y\) ersetzt wird.

Subjects:
Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Differentialausdrücke und Differentialinvarianten. Allgemeine Integrationsmethoden. Gruppentheoretische und funktionentheoretische Behandlung.
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