Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles. Premier mémoire. (French) JFM 46.0721.01

Gevrey, M.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 35, 129-190 (1918).

Man vergleiche hierzu F. d. M. 44, 433 (JFM 44.0433.*), 1913. Mit dem analytischen Charakter der Lösungen partieller Differentialgleichungen vom elliptischen und puabolischen Typus haben sich u. a. E. Holmgren, S. Bernstein und E. E. Levi beschäftigt. Der Verf. gewinnt mit neuen Hilfsmitteln zahlreiche weitergehende Resultate. Seine Entwicklungen sind dabei, was besonders wichtig ist, als recht einfach und durchsichtig zu bezeichnen. Die vorliegende Arbeit stellt darum einen hoch erfreulichen Fortschritt auf dem betrachteten Gebiete dar.
Das Wesentliche der neuen Methode besteht in der Abschätzung des absoluten Betrages der sukzessiven Ableitungen der Lösungen im reellen Gebiete. Es gelingt so, ihren analytischen Charakter darzutun, ohne von Reihenentwicklungen Gebrauch zu machen. Der Verf. nennt eine im reellen Gebiete unbeschränkt differentiierbare Funktion \(\varphi(x)\) Funktion der Klasse \(\alpha(\alpha\geqq 1)\), wenn für alle \(n\) \[ \left| \frac{d^n\varphi}{dx^n}\right| <M\frac{(n!)^\alpha}{R^n}\;(M\text{ und }R\text{ konstant}) \] gilt. Offenbar gehört \(\varphi(x)\) allen Klassen von der Ordnung \(>\alpha\) an. Funktionen der Klasse 1 in einem Intervalle \((a,b)\) sind daselbst analytisch, der Klasse \(\alpha<1\) sind ganze transzendente Funktionen der Ordnung \[ \leqq\frac{1}{1-\alpha},\text{ wobei sogar }| \varphi(x)| <e^{K| x| ^{1/1-\alpha}},\;K>0. \] Ist allgemeiner in jedem Punkte eines mehrdimensionalen Gebietes für \(n_1,n_2,\dots,n_p\) \[ \left| \frac{\partial^{n_1+n_2+\cdots+n_p}\Phi}{\partial x_1^{n_1}\partial x_2^{n_2}\cdots\partial x_p^{n_p}}\right| <M \frac{(n_1!)^{\alpha_1}(n_2!)^{\alpha_2}\dots(n_p!)^{\alpha_p}}{R _1^{n_1}R_2^{n_2}\dots R_p^{n_p}}, \] so heißt \(\Phi\) daselbst, als Funktion der Gesamtheit der Variablen \(x_1,x_2,\dots,x_p\) betrachtet, von der Klasse \(\alpha_1\) in bezug auf \(x_1,\alpha_2\) in bezug auf \(x_2,\dots,\alpha_p\) in bezug auf \(x_p\). Ist \(\alpha\) der größte aller Werte \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\), so heißt überdies \(\Phi\) von der Klasse \(\alpha\) in bezug auf (\(x_1,x_2,\dots,x_p\)). Eine Lösung einer partiellen Differentialgleichung vom elliptischen oder parabolischen Typus heißt regulär, wenn sie nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung sowie denjenigen Ableitungen zweiter Ordnung, die in der Gleichung vorkommen, stetig ist.
In der vorliegenden Abhandlung werden die partiellen Differentialgleichungen der folgenden sechs Arten behandelt: \[ \begin{matrix} (E)\;&r+t=ap+bq+cz+f,\;(P)\;&r-q=ap+cz+f, \\ (E_1)\;&r+t=F(x,y,z,p,q),\;(P_1)\;&r-q=f(x,y,z,p), \\ (E_2)\;&F(x,y,z,p,q,r,s,t)=0,\;(P_2)\;&f(x,y,z,p,q,r)=0,\end{matrix} \]
\[ p=\frac{\partial z}{\partial x},q=\frac{\partial z}{\partial y},r=\frac{\partial^2z}{\partial x^2},s=\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y},t=\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\cdot \] Es seien \(\alpha\) und \(\beta\) zwei positive Zahlen, \(\gamma=\text{Min}(\alpha,\beta),\alpha\geqq 1,\beta\geqq 1\) für die Gleichungen \((E),(E_1),(E_2),\alpha\geqq 1,\beta\geqq 2\) für die Gleichungen \((P),(P_1),(P_2)\).
Bezüglich der Koeffizienten \(a,b,c,f\) in \((E)\) und \((P)\) bzw. der Funktionen \(F\) und \(f\) werden folgende Voraussetzungen gemacht.
1. In einem Gebiete \(\mathfrak K\) der Ebene sind die Koeffizienten \(a,b,c,f\) als Funktionen von \(x\) und \(y\) entweder von der Klasse \(\alpha\) in bezug auf \(x\) und stetig in \(y\) oder von der Klasse \(\beta\) in bezug auf \(y\) und stetig in \(x\) oder schließlich von der Klasse \(\alpha\) in bezug auf \(x\) und \(\beta\) in bezug auf \(y\).
2. Die Funktionen \(F\) und \(f\) sind in einem (mehrdimensionalen) Gebiete \(\mathfrak D\), als Funktionen der Gesamtheit ihrer Variablen aufgefaßt, von der Klasse \(\alpha\) in bezug auf \(x\) und stetig in \(y\) oder von der Klasse \(\beta\) in bezug auf \(y\) und stetig in \(x\) oder schließlich von der Klasse \(\alpha\) in bezug auf \(x\) und von der Klasse \(\beta\) in bezug auf \(y\), in allen Fällen jedoch von der Klasse \(y\) in bezug auf \((z,p,q,r,s,t)\).
Bezüglich der Gleichungen \((E_2),(P_2)\) wird überdies noch angenommen, daß, wenn man für \(z\) die betrachtete Lösung einsetzt, \(F_r',F_s',F_t',f_q',f_r'\), die nunmehr Funktionen von \(x\) und \(y\) allein werden, Ableitungen erster Ordnung haben und den Ungleichheiten \[ 4F_r'F_t'-F_s^{\prime 2}>0,f_q'f_r'\neq 0 \] genügen. Die Voraussetzung der Differentiierbarkeit ist erfüllt, wenn die partiellen Ableitungen dritter Ordnung von \(z\) existieren.
Nunmehr gilt der Fundamentalsatz: Jede reguläre Lösung der Differentialgleichungen \((E),\dots,(P_2)\) in \(\mathfrak K\) oder \(\mathfrak D\) ist von demselben Charakter in bezug auf \(x\) und \(y\) wie die Koeffizienten \(a,b,c,f\) bzw. die Funktionen \(F\) und \(f\).
Dem Beweise dieser und sogar etwas weiter reichenden Sätze, die auch noch gewisse partielle Ableitungen erster Ordnung von \(z\) betreffen, ist der größere Teil der inhaltreichen Arbeit gewidmet.
Sie enthält daneben noch manche weitere beachtenswerte Resultate. So z. B. wichtige Abschätzungen der klassischen Greenschen Funktion für das Kreisgebiet \(K\), den Existenzbeweis der Lösung der Differentialgleichung \((E_0)\), die auf dem Rande \(C\) von \(K\) eine vorgeschriebene, schlechthin stetige Wertfolge annimmt, in \(K+C\) stetig, in \(K\) regulär ist, wenn bezüglich \(a,b,c,f\) z. B. nur soviel vorausgesetzt wird, als nötig ist, um die Existenz der zweiten Ableitungen des logarithmischen Potentials sicherzustellen, also z. B. das Erfülltsein der Dinischen Bedingung. Dieses Resultat läßt sich durch konforme Abbildung sofort auf jedes von geschlossenen, stetig gekrümmten Kurven begrenzte Gebiet ausdehnen. Des weiteren finden sich in der Arbeit wichtige Ausführungen über das Randwertproblem der Differentialgleichung \(P\), über das Cauchysche Problem im Falle der Differentialgleichungen \(E_1\) und \(P_1\) und über die anallytische Fortsetzung der Lösungen dieser Gleichungen überhaupt. Auch macht der Verf. Andeutungen über eine Ausdehnung seiner Resultate auf Differentialgleichungen höherer Ordnung sowie Gleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen.

Reviewer: Lichtenstein, Prof. (Münster)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen. Differentialausdrücke und Differentialinvarianten. Allgemeine Integrationsmethoden. Gruppentheoretische und funktionentheoretische Behandlung.

Citations:

JFM 44.0433.*