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Invariant variational problems. (Invariante Variationsprobleme.) (German) JFM 46.0770.01
Es handelt sich um Variationsprobleme, die eine kontinuierliche Gruppe (im Lieschen Sinne) gestatten; für diese gelten die beiden Sätze:
I. Ist das Integral \(I\) invariant gegenüber einer endlichen, von \(\rho\) Parametern abhängenden Gruppe, so werden \(\rho\) linear-unabhängige Verbindungen der Lagrangeschen Ausdrücke (d. h. der linken Seiten der zu \(\delta I=0\) gehörigen Variationsgleichungen) zu Divergenzen.
II. Ist das Integral \(I\) invariant gegenüber einer unendlichen Gruppe, die von \(\rho\) willkürlichen Funktionen und ihren Ableitungen bis zur \(\sigma\)-ten Ordnung abhängt, so bestehen \(\rho\) identische Relationen zwischen den Lagrangeschen Ausdrücken und ihren Ableitungen bis zur \(\sigma\)-ten Ordnung.
Bei beiden Sätzen gilt die Umkehrung. Satz I ergibt im Fall einer unabhängigen Veränderlichen die Existenz von \(\rho\) ersten Integralen; im Fall von mehr Veränderlichen die oft als “Erhaltungssätze” bezeichneten Divergenzgleichungen. Satz II kann als größtmögliche gruppentheoretische Verallgemeinerung der bei der “allgemeinen Relativitätstheorie” der Physiker auftretenden Verhältnisse angesehen werden. Als Folgerung aus Satz II wird schließlich noch eine Hilbertsche Vermutung über den Zusammenhang zwischen dem Versagen eigentlicher Energiesätze und “allgemeiner Relativität” gruppentheoretisch präzisiert und bewiesen. (IV 8, VII.)

MSC:
37J15 Symmetries, invariants, invariant manifolds, momentum maps, reduction (MSC2010)
49K10 Optimality conditions for free problems in two or more independent variables
70-03 History of mechanics of particles and systems
70H33 Symmetries and conservation laws, reverse symmetries, invariant manifolds and their bifurcations, reduction for problems in Hamiltonian and Lagrangian mechanics
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