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On the foundations of plane analysis situs. (English) JFM 46.0828.02

Proc. Natl. Acad. Sci. USA 2, 270-272 (1916); Trans. Am. Math. Soc. 17, 131-164 (1916).
Diese Arbeit enthält drei Axiomensysteme \(\Sigma_1, \Sigma_2\) und \(\Sigma_3\). Jedes dieser Systeme ist eine hinreichende Basis für eine große Zahl von Sätzen der ebenen Analysis Situs. Die Axiome beziehen sich auf eine Klasse von Elementen, welche Punkte, und eine Klasse von Punktmengen, welche Gebiete (regions) genannt werden.
Auf Grund von \(\Sigma_1\) wird die Existenz der einfachen stetigen Kurven als ein Satz bewiesen und es wird gezeigt, daß jedes Gebiet das Innere einer einfachen geschlossenen Kurve bildet.
Jedes der Systeme \(\Sigma_1\) und \(\Sigma_2\) enthält ein Axiom, welches die Existenz einer abzählbaren Folge von Gebieten postuliert, welche eine Menge von Teilfolgen enthält, die in bestimmter Weise gegen die Punkte des Raumes konvergieren. Unter anderem folgt aus diesem Axiom, daß die Menge aller Punkte “separable” ist.
\(\Sigma_3\) enthält ein Axiom, welches für jeden Punkt \(P\) die Existenz einer abzählbaren Folge von Gebieten postuliert, die gegen \(P\) konvergierten. \(\Sigma_2\) impliziert \(\Sigma_3\), aber nicht umgekehrt. (V 1.)

MSC:

54F15 Continua and generalizations