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Vektorielle Begründung der Differentialgeometrie. (German) JFM 46.1029.04
Diese Abhandlung stellt sich das Ziel, die Transformationstheorie der quadratischen Differentialformen, als der formalen Grundlage der Differentialgeometrie und der Relativitätstheorie, durch einen geometrischen Kalkül zu vereinfachen und so die geometrischen Differentialinvarianten dieser Theorie, z. B. den Riemann-Christoffelschen Krümmungstensor, auf einem weniger schwerfälligen und geometrisch durchsichtigeren Wege zu gewinnen, als es nach dem Christoffelschen Eliminationsverfahren möglich ist. Dies geschieht unter Benutzung der Begriffe und Ideen der allgemeinen Vektoranalysis und mit Einführung besonderer infinitesimaler Operationen. Die Arbeit zerfällt in acht Teile. In I wird die Christoffelsche Transformationsrechnung in äußerst kurzer und präziser Form durchgeführt und kritisch beleuchtet. In II werden die notwendigen Sätze einer formalen Algebra der Vektoren und Tensoren aufgestellt, und zwar unter Zugrundelegung einer \(n\)-dimensionalen euklidischen Mannigfaltigkeit. Die “innere” Orientierung dieses Raumes ist gegeben durch \(n\) Grundvektoren \(y_i\) \((i=1, \dots, n)\), denen das reziproke (Polar-)System \(y^i\) zugeordnet wird durch die Formeln \(y_iy^k=0\) oder 1, je nachdem \(i=k\) oder \(i\neq k\) ist, und wobei die skalare Multiplikation gemeint wird. Hat man \(\varrho\) linear unabhängige Systeme von je \(n\) Größen, von denen \(\alpha\) Systeme zu den Grundvektoren kogredient und \(\beta\) Systeme kontragredient transformiert werden, so bilden die Produkte von je \(\varrho\) Größen, deren keine zwei demselben System angehören, in ihrer Gesamtheit ein Tensorprodukt. Jedes zu einem solchen Tensorprodukt kogrediente System heißt ein Tensor vom Range \(\varrho=\alpha+\beta\), und wird durch einen Buchstaben mit \(\alpha\) unteren und \(\beta\) oberen Zeigern bezeichnet: Ist \(A_{j, \dots}^{i, \dots}\) eine Komponente eines solchen Tensors vom Range \(\alpha+\beta\), so entsteht durch den Prozeß der “Faltung nach den Zeigern \(i, j\)” der Tensor mit den Komponenten \(\sum_{\lambda}A_{\lambda\dots}^{\lambda\dots}\) vom Range \((\alpha-1)+(\beta-1)\). III. Wenn die \(n\) Grundvektoren \(p_i\) von \(n\) skalaren Urvariablen \(t_1, \dots, t_n\) abhängen, so bestimmen die zu den \(n\) Differentialen \(dt_1, \dots, dt_n\) gehörigen “Differentiale” \(dp_i\) die “äußere” Orientierung des Raumes. Die Komponenten dieser Differentiale bilden den “Orientierungstensor” \(\{db\}\); es sind die Skalarprodukte \[ d{\mathfrak p}_i\cdot {\mathfrak p}^k=-{\mathfrak p}_id{\mathfrak p}^k=db_i^k, \] \[ d{\mathfrak p}_i\cdot {\mathfrak p}^k=db_{ik}, -y^id{\mathfrak p}=db^{ik}. \] Ist \({\mathfrak r}=\sum_i r^i{\mathfrak p}_i=\sum_i r_i{\mathfrak p}^i\) ein beliebiger Vektor, so ist \[ d{\mathfrak r}=\sum_i\delta r^i\cdot {\mathfrak p}_i=\sum_i \delta r_i\cdot {\mathfrak p}^i, \] wo \[ \delta r^i=dr^i+\sum_{\lambda}db_{\lambda}^ir^{\lambda},\quad \delta r_i=dr_i-\sum_{\lambda}db_i^{\lambda}r_{\lambda}. \] Diese Operation \(\delta\) kann entsprechend für einen Tensor definiert werden. Weil \(\delta r^i\) usw. zu \(r^i\) usw. kogredient ist, spricht man von “kogredienter Differentiation”. Diese Operation ist von wesentlicher Bedeutung für die Vereinfachung des Kalküls. IV. Wird nur eine Urvariable verändert, so entstehen partielle Differentiale. Sind \(\delta_1, d_2\) die Zeichen für zwei derartige kogrediente Differentiationen einer Größe \(v\), so ist \[ \varDelta_{12} v=\delta_2\delta_1v-\delta_1\delta_2v \] eine bilineare alternierende Differentialform und, wenn es sich um gewöhnliche Differentiationen handelt, eine Pfaffsche Kovariante. V. Die Maßbestimmung des \(n\)-dimensionalen Raumes geschieht durch \(n\) lineare Differentialformen \(du_i\) (Grundformen), die als Komponenten eines “Vektors des Linienelements” \(d{\mathfrak s}\) aufgefaßt werden. Sein Quadrat \((d{\mathfrak s})^2\) ist eine quadratische Differentialform \(\sum_{i,k} a^{ik}du_idu_k\). Der “Krümmungsvektor” ist der Vektor \[ k=\frac{d}{ds}\left( \frac{d{\mathfrak s}}{ds}\right), \text{ wo } ds=| d{\mathfrak s}| =| \sqrt{ds^2}|. \] Verschwindet er in jedem Punkte einer Raumkurve, so heißt sie eine “geradeste” Linie. Eine “kürzeste” Linie ist eine solche, längs der die erste Variation der Bogenlänge \(\int ds\) verschwindet. Ihre Differentialgleichung wird \[ d_1\left(\frac{d_1{\mathfrak s}}{d_1s}\right)\cdot d_2{\mathfrak s}= \frac{d_1{\mathfrak s}}{d_1s}(d_2d_1{\mathfrak s}-d_1d_2{\mathfrak s})=\frac{d_1{\mathfrak s}}{d_1s}\cdot D_{12}{\mathfrak s}, \] wo \(D_{12}{\mathfrak s}\) die Pfaffsche Kovariante bedeutet. Die notwendige und hinreichende Bedinung dafür, daß eine geradeste zugleich eine kürzeste Linie wird, ist \[ (*) \quad D_{12}{\mathfrak s} d_2d_1{\mathfrak s}-d_1d_2{\mathfrak s}=0. \] IV. Ist \(db\) eine lineare Form der Grundformen: \[ db=\sum_ib^idu_i, \] so wird \(b^i=\frac{\partial b}{\partial u_i}\), polar dazu \(b_i\frac{\partial b}{\partial u^i}\) gesetzt. Diese “Ableitungen” lassen sich auch auf kogrediente Differentiale übertragen. Der Orientierungstensor \(\{db_i^k\}\) kann so gewählt werden, daß die Gleichung \((*)\) erfüllt ist. In diesem Falle stimmen die kogredienten Ableitungen mit denen des “absoluten” Differentialkalküls von Ricci und Levi-Civita überein. VII. Die “Ableitungen” (auch im nicht-integrablen Falle und im kogredienten Sinne) lassen sich auch auf die zweite Ordnung übertragen: z. B. \(\frac{\delta^2 \varphi}{\partial u^{\mu}\partial u^{\lambda}}\) sind die Koeffizienten von \(du^{\mu}\) in \(\delta \,\frac{\partial\varphi}{\partial u^{\mu}}\), wo \(d\varphi\) irgend eine Linearform bedeutet. Auf diese Weise kann man z. B. den Beltramischen Differentialparameter \(\varDelta^2\varphi\) auch für \(n\geqq 2\) und beliebige Formen durch kogrediente Ableitungen erklären. VIII. Der Riemann-Christoffelsche Krümmungstensor, d. h. die quadrilineare Kovariante (in der üblichen Schreibweise) \[ K=\sum_{iklm}(iklm) d_1u^id_2u^kd_3u^ld_4u^m, \] läßt sich auch im Falle nicht integrabler Grundformen \(du^i\) in invarianter Form darstellen: \[ K=D_{34}d_1{\mathfrak s}d_2{\mathfrak s}, \] worin \(D_{34}\) eine entsprechende Bedeutung wie \(D_{12}\) in \((*)\) hat. Spezialisierungen auf den binären Fall und das Gaußsche Krümmungsmaß beschließen die Arbeit, wobei sich Formeln ergeben, auf die der Verfasser schon vor Jahren in seiner Dissertation (Acta Math. 23) hingewiesen hatte, und in denen wohl der Ursprung dieser Untersuchungen zu erblicken ist. (V 7.)

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References:
[1] Vor allem der ”absolute Differentialkalkul” von Ricci und Levi-Civita, Math. Ann. 54, wo weitere Literatur angegeben ist.
[2] Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades, Crelles Journ. 70, 1869.
[3] Ricci und Levi-Citita, l. c. Math. Ann. 54
[4] Vgl. z. B. Knoblauch, Grundlagen der Differentialgeometrie, § 46.
[5] Seine Durchbildung im ”absoluten Differentialkalkul” läßt freilich noch recht viel zu wünschen übrig. Das Ansetzen eines nenen Zeigers als Operationszeichen setzt voraus, daß der abzuleitende Tensor durch ein Symbol von der FormAi 1...i m bezeichnet ist. Ist dieser aber selbst durch Addition, Multiplikation oder Faltung entstanden, so trifft diese Voraussetzung nicht zu, wenn nicht für das der Ableitung vorangehende Ergebnis ein Zwischensymbol eingeführt wird. Jedenfalls kann die Sukzession algebraischer und differentieller Operationen auf diese Weise nicht durch ein einheitliches Symbol ausgedrückt werden. Die Analogie des ”absoluten” Differentialkalkuls mit dem gemeinen muß in den Rechensymbolen selbst, nicht nur in der Namengebung zum Ausdruck gebracht werden. Was diese betrifft, so ist sie zudem wenig glücklich; vor allem ist es unerfindlich, warum eine ausgesprochenrelative, nämlich auf eine Grundform \(\Sigma\)a ik du i du k bezogene Rechnungaart als ”absolut” bezeichnet wird. Die elementarsten Grundsätze der Zweckmäßigkeit gebieten doch gerade, diegemeinen Ableitungen im Gegensatz zu den auf eine Grundform bezogenen alsabsolute zu benennen. Vgl. auch Seite 196, erste Fußnote.
[6] Vgl. z. B. Knoblauch, Über den Beweis der Christoffelschen Kovarianz, Sitz. Ber. d. Berl. Math. Ges., Bd. I, Hessenberg, Über die Gleichung der geodätischen Linien, ebenda, sowie: Über die Invarianten linearer und quadratischer binärer Differentialformen usw., Acta Math. Bd. 23. Maschke, A new method of determining the differential parameters and invariants of quadratic differential quantics, Trans. Am. Math. Soc. Vol. I, A symbolic treatment of the theory of invariants of quadratic differential quantics ofn variables, ebenda, Trans. Am. Math. Soc. Vol. IV, sowie das Referat von J. E. Wright, Invariants of quadratic differential forms, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys., No 9.
[7] Die erste Annahme findet sich durchgehends in der ganzen Literatur, die zweite ist unwesentlich. Bereits Ricci und Levi-Civita betrachten l. Math. Ann. 54 c. den ”kontravarianten” Tensor mit lauter hochständigen Zeigern, bilden aber seine Ableitung in einer für die noch unüberwundene Einseitigkeit der Auffassung sehr kennzeichnenden Weise, indem sie die Zeiger vor der Bildung der Ableitung senken und nachträglich wieder heben.
[8] Über die Invarianten linearer und quadratischer binärer Differentialformen usw., § 15f., Acta math. Bd. 23.
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