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Sulla curvatura delle sperficie e varietà. (Italian) JFM 46.1068.02
Das Ziel dieser Arbeit ist, gewisse Grenzformeln für das Gaußsche Krümmungsmaß \(K\) einer Fläche, die von Gauß, Riemann, Lambert und von Levi-Civita aufgestellt worden sind und von denen insbesondere der von Levi-Civita eine einfache Verallgemeinerung für höhere Mannigfaltigkeiten im Sinne des Riemannschen Krümmungsmaßes gestattet, auf geometrischem Wege abzuleiten. Zu diesem Zwecke geht der Verf. von einem orthogonal-geodätischen Polarkoordinatensystem mit dem Pole \(P\) und den Polarkoordinaten \(\varrho, \vartheta\) aus und führt weiter die “krummlinigen kartesischen Koordinaten” auf der Fläche mittels der Formeln \[ u=\varrho\frac{\sin(\omega-\theta)}{\sin\omega}, v=\varrho\frac{\sin\theta}{\sigma\omega} \] ein. Danach wird eine Umgebung des Punktes \(P\) der Fläche durch einen Parameter \(\varepsilon\) definiert, indem \(u=\varepsilon x, v=\varepsilon y\) gesetzt wird. Die Fläche wird sodann auf eine Kugel vom Radius \(R=\frac{1}{\sqrt K}\), wobei \(K\) das Gaußsche Krümmungsmaß der Fläche in \(P\) bedeutet, derart abgebildet, daß einem Punkte \((\varrho, \theta)\) der Fläche ein Punkt mit der Poldistanz \(\varrho\) und der geographischen Länge \(\theta\) der Kugel entspricht. Dann kann man leicht zeigen, daß die Differenz der Längen irgend zweier entsprechender Bögen auf der Fläche und auf der Kugel in der Umbebung von \(P\) die Größenordnung \(\varepsilon^4\) hat, die Differenz entsprechender Winkel von der Ordnung \(\varepsilon^3\) ist, und daß in der Umgebung von \(P\) die sphärische \((K>0)\) oder pseudoshärische \((K<0)\) Trigonometrie bis auf Größen von mindestens der Ordnung \(\varepsilon^3\) gilt. Dies bedeutet es, wenn der Verf. sagt, die Fläche sei in der Umgebung von \(P\) näherungsweise auf die Kugel vom Radius \(R\) abgewickelt. Zieht man in der Umgebung von \(P\) zu irgendeiner geodätischen Linie in konstanter, unter dem Winkel \(\omega\) abgetragener geodätischer Entfernung eine Äquidistante, so entspricht ihr bei der angenäherten Abwicklung auf die Kugel ein Parallelkreis bis auf Größen von der Ordnung \(\varepsilon^4\).
Diese Betrachtungen werden nun zu einfachen Beweisen der Formeln für \(K\) benutzt: Sind \(a, b, c\) die Seitenlängen eines geodätischen Dreiecks, \(\alpha\) der Winkel bei der Ecke \(A\), so ist in \(A\) das Krümmungsmaß \[ K_A=3\lim\frac{b^2+c^2-a^2-2bc\cos\alpha}{b^2c^2\sin^2\alpha}, \] wo der lim für den Fall zu verstehen ist, daß das Dreieck auf \(A\) zusammenschrumpft. Ebenso gilt die Darbouxsche Formel \[ 3K_A+K_B+K_C=12\lim\frac{b^2+c^2-2bc\cos\alpha- a^2}{b^2c^2\sin^2\alpha}. \] Ist \(PP'QQ'\) ein geodätisches Viereck, in dem die beiden Gegenseiten \(PP'\) und \(QQ'\) gleiche Längen haben und mit der Grundlinie \(PQ\) gleiche Winkel \(\omega\) bilden, so ist \[ K_P=\lim\frac{\overline{PQ^2}- \overline{P'{Q'}^2}}{\varDelta^2}, \] wo \(\varDelta=PQ\cdot P'Q'\cdot \sin\omega\) den Inhalt des “Parallelogrammoids” bedeutet. Diese Formel rührt von Levi-Civita her. Auf einer Fläche konstanter Krümmung gilt dieselbe Formel (ohne lim) für endliche Vierecke, falls die “Gegenbasis” \(P'Q'\) eine geodätische Parallele zur geodätischen Basis \(PQ\) ist.
Es seien ferner \(PQ\) und \(PP'\) zwei von \(P\) ausgehende geodätische Bögen, und \(QQ', P'Q'\) die beiden andern Seiten eines so entstehenden Vierecks, die durch zwei Kurven \(u=\)const., \(v=\) const. des krummlinigen kartesischen Koordinatensystems \((u, v)\) mit den Achsen \(PQ(v=0)\) und \(PP'(u=0)\) bestimmt werden, so ist nach Riemann \[ K_P=3\lim\frac{\overline{PQ^2}- \overline{P'{Q'}^2}} {\varDelta^2}. \] Bei der Erweiterung auf höhere Mannigfaltigkeiten, die sich mit Hilfe des Begriffs der geodätischen Fläche in üblicher Weise durchführen läßt, wird bewiesen, daß die Formel von Levi-Civita zu demselben Grenzwert führt wie die Riemannsche. (V 6 E.)

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References:
[1] Citerò nel seguito con unaM. la Memoria delLevi-Civita.
[2] Non mancan di certo pregevoli esposizioni geometriche della teoria della curvatura totale delle superficie ; ma io dovevo piegar la mia trattazione a particolari esigenze, in vista degli scopi che ’ mi proponevo per le varietà.
[3] Non basta, per concluder ciò, osservare che id s 2 delleS, S, sotto la forma geodetica, cominciano a differire dal 5\(\deg\) ordine in poi (cfr. col n\(\deg\) 4).
[4] Vedi ad es.L. Bianchi,Legioni di geometria differenziale, 2a edizione (Pisa, Spoerri, 1902), vol. I, pag. 194.
[5] Vedi ad es.Bianchi, loe. cit. 4), pag. 196.
[6] Che il teorema dei seni valga pei triangoli geodetici, a meno di quantità del 4\(\deg\) ordine, é notato anche inG. Darboux,Leçons sur la théorie générale des surfaces, IIIe partie (Paris, Gauthier-Vil lars, 1894), pag. 170. VeramenteDarboux considera, invece dei seni di a/R,b/R, c/R, lelungheççe ri dotte (secondo Christoffel) dei latia, b, e; ma queste lunghezze, a meno appunto di quantità del 40 ordine, riduconsi a quei seni (1. e, p. 190).
[7] Darboux, loe, cit. 6), III partie, pag. 168, formula (35).
[8] M. § 17.
[9] Definizione che particolarizza, per n = 2, quella delLevi-Civita, relativa ad unaV n . Qui si tien conto che il parallelismo fra direzioni, considerato in M., per n= 2 riducesi alla relazione ďisogonalità. Ciò é provato in M. § 9 e risulterà del resto anche dal n\(\deg\) 11 del presente lavoro. I0) Per ľespressione della differenza tra un arco e la relativa corda ved. per es.G. Humbert,Cours ďAnalyse (Paris, Gautbier-Villars, 1903), t. I, p. 401. La stessa espressione vale evidentemente qualunque sia la dimensione dello spazio euclideo in cui la superficie é immersa.11) Cfr. per es.R. Bonola,La geometria non-euclidea (Bologna, Zanichelli, 1906), p. 21.
[10] Bonola, loc. cit., p. 39.
[11] Si sottindende che, delle due intersezioni di ciascuno dei circoli massimi considerati, si sceglie quella che appartiene alľintorno diP.
[12] Per la citazione dettagliata dei passi corrispondenti dalle Gesammelte Werke delRiemann, nonché per la dimostrazione del fatto che effettivamente la definizione delRiemann può presentarsi sotto questa forma, ved. il n\(\deg\) 10 del presente lavoro.
[13] Cioé il luogo delle geodetiche spiccate daP secondo direzioni appartenenti a un dato fascio. Cfr. per es.Bianchi, loc. cit., vol. I, pag. 339.
[14] Bianchi, loe. cit., vol. I, pag. 195.
[15] Più brevemente si sarebbe potuto dire: la \(\pi\). fa corrispondere alle intersezioni deľ cono isotropo della stella (P0) coi piani reali del fascio (a0), le generatrici analoghe del cono isotropo della stella (P). Dunque il trasformato, mediante \(\pi\), del primo cono isotropo, che é irriducibile, non può che coincidere col secondo; cioé \(\pi\) non può che essere una congruenza.
[16] Il ragionamento esposto nelľOsservazione del n\(\deg\) 8, vale evidentemente anche se il quadrilateroPQPQ é immerso in una varietàV n , anziché in una superficie 5. Basta alľuopo considerare le cose nello spazio euclideoS N , cuiV n appartiene.
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