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Über die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. (German) JFM 46.1115.03

Zürich. Naturf. Ges. 61, 40-72 (1916).
Es handelt sich in diesen Schriften um die Beweise von folgenden Lehrsätzen:
I. Eine Eifläche (=geschlossene konvexe Fläche) ist starr, d. h. läßt keine nichttrivialen infinitesimalen Biegungen zu.
II. Sind zwei Eiflächen aufeinander isometrisch, d. h. unter Erhaltung der Bogenlängen abbildbar, so ist diese Abbildung immer trivial, d. h. entweder durch eine Bewegung oder Umlegung herstellbar.
Die entsprechenden Sätze unter Beschränkung auf polyedrische Eiflächen seien mit \(\text{I}^{\text{a}}\) und \(\text{II}^{\text{a}}\) bezeichnet. Unter einer infinitesimalen Biegung ist dabei eine Deformation verstanden, bei der die Eifläche Eifläche bleibt und die Ableitung der Bogenlänge irgendeiner auf der Fläche gezogenen Kurve nach der Zeit zu Anfang verschwindet. Der Beweis für die Sätze \(\text{II}^{\text{a}}\), II ist erheblich schwieriger als der \(\text{I}^{\text{a}}\), I und wenn I auch nicht in II enthalten ist, so lassen sich die Beweise für II immer leicht so abändern, daß auch I miterledigt wird. Sowohl in I wie in II ist enthalten: Jeder stetige Verbiegungsprozeß einer Eifläche ist trivial, besteht also darin, daß die Eifläche zu sich selbst kongruent fortbewegt wird.
Für \(\text{I}^{\text{a}}\) und \(\text{II}^{\text{a}}\) hat Cauchy einen berühmten Beweis gegeben (Werke (2) 1, S. 26-38), der sich aber kaum auf krumme Flächen asudehnen läßt. Dehn mittels einer topologischen Betrachtung gezeigt, daß die Funktionaldeterminante des Problems von Null verschieden ist. Allerdings ist Dehns Verfahren eher verwickelter als das Cauchy s.
H. Weyl hat das Verdienst in der ersten der hier zu besprechenden Schriften zum erstenmal einen Beweis geliefert zu haben, der einheitlich sich zuerst auf \(\text{I}^{\text{a}}\) und dann auf I erstreckt, welch letzterer zuerst von H. Liebmann bewiesen worden ist (Math. Ann. 53, 81, 1900 und 54, 505, 1901). Mittels der von W. Blaschke (Gött. Nachr. 1912) herrührenden Bemerkung, daß die für die Verbiegung von Weingarten aufgestellte Differentialgleichung mit der übereinstimmt, die in der Theorie von Volumen und Oberfläche nach H. Minkowski die Hauptrolle spielt, wird die Aufgabe zurückgeführt auf eine von Minkowski gefundene Symmetrieeigenschaft des “gemischten Volumens” (Math. Ann. 57, 447, 1903). In der zweiten Schrif gibt Weyl die Grundzüge eines Beweises für den schwierigen Satz II und zeigt darüber hinausgehend:
III. Sind die Maßverhältnisse auf einer Fläche vom Zusammenhang der Kugel und mit durchweg positivem Krümmungsmaß beliebig in abstracto vorgeschrieben, so gibt es im dreidimensionalen Raume Euklids eine (und abgesehen von Bewegungen und Umlegungen) nur eine Eifläche mit diesen vorgeschriebenen Maßverhältnissen.
Leider ist Weyls Beweis sehr verwickelt und es wäre zu wünschen, daß sich diese so anschauliche Ergebnis einfacher begründen ließe. (IV 13.)