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Die direkte Analysis der neueren Relativitätstheorie. (Dutch) JFM 46.1127.01
Auf Grund des von dem Verf. schon 1914 zum Aufbau der gewöhnlichen Vektor- und Affinoranalysis verwendeten Kleinschen Klassifizierungsprinzip der geometrischen Größen wird im ersten Abschnitt das zur orthogonalen Gruppe gehörige System \(R_4^0\) abgeleitet. Von diesem System sind alle bisher für 4 Dimensionen verwendete Vektorrechnungen Fragmente. Durch Einführung der Überschiebungen und Faltungen entsteht aus \(R_4^0\) ein System der Affinoralgebra, durch Einführung von \(\nabla\) eine Affinoranalysis. Beide enthalten Affinoren bis zu jedem beliebigen Grade.
Im zweiten Abschnitt wird die Affinoranalysis für die Differentialgeometrie in einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit aufgestellt. Der Übergang von der gewöhnlichen Affinoranalysis aus wird gebildet durch den Begriff des “geodätisch mitbewegten Bezugssystems”, das aufs engste verwandt ist mit dem Levi-Civitaschen Begriff des Parallelismus, aber hier unabhängig von Levi-Civita definiert wird. Hauptsatz ist: Die geodätische (= kovariante, kogrediente) Differentiation ist eine gewöhnliche Differentation in bezug auf ein geodätisch mitbewegtes Bezugssystem. Abbildungen erläutern die Bewegung des Systems auf der Kugel, auf der Pseudosphäre und auf einem hyperbolischen Paraboloid. Bei der Ableitung sowie in der Analysis selbst werden vielfach ideale Vektoren angewandt. Ihre Bestimmungszahlen sind Clebsch-Aronholdsche Symbole oder Weitzenböcksche Komplexsymbole. Die Beziehungen zu den Systemen von Maschke, Hessenberg, F. Jung, L. Ingold und J. B. Shaw sind ausführlich angegeben. Bei mehrfacher Differentiation tritt der Riemann-Christoffelsche Affinor \(\overset {4}{\overline K}\) auf. Von \(\overset {4}{\overline K}\) sowie von den durch Faltung aus \(\overset {4}{\overline K}\) entstehenden Größen \(^2\overline{K}\) und \(K\) werden verschiedene geometrische Eigenschaften gegeben. Insbesondere läßt sich das Oberflächenintegral von \(K\) in Beziehung setzen zum Linienintegral der Drehung des geodätisch mitbewegten Bezugssystems. Dazu wird der Beweis geliefert, daß die drei Sätze, die in vier Dimensionen mit den Sätzen von Gauß und Stokes korrespondieren, auch in einer allgemeinen Mannigfaltigkeit mit quadratischer Maßbestimmung gelten. Am Schluß des Abschnittes werden die Verallgemeinerungen der Krümmungsgleichungen von Gauß und Mainardi-Codazzi abgeleitet.
Der dritte Abschnitt bringt Anwendungen auf die Relativitätstheorie, insbesondere Variationsrechnungen, rein affinoranalytisch, ohne Verwendung von Koordinaten. Ein Zusatz bezieht sich auf die Weylsche Theorie.
Die in dieser Arbeit abgeleitete Affinoranalysis ist seitdem bedeutend vereinfacht und verbessert. Für die endgültige Darstellung siehe man “Über die konforme Abbildung von \(V_n\) auf eien \(R_n\)”, Math. Zeitschr. 11, 58, 1921; sowie D. J. Struik, “Grundzüge der mehrdimensionalen Differentialgeometrie”, Berlin, J. Springer, 1922.

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