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Notiz über das mittlere Krümmungsmaß einer \(n\)-fach ausgedehnten Riemannschen Mannigfaltigkeit. (German) JFM 46.1130.01
Auf einer Fläche läßt sich das Gaußische Krümmungsmaß dem Flächeninhalt \(J\) und dem Umfang \(U\) eines durch seine Mittelpunkteigenschaft erklären geodätischen Kreises vom Halbmesser \(\varrho\), abgesehen von einem Zahlenfaktor, bekanntlich durch die Formeln definieren \[ 4\lim_{\varrho\to 0} \frac{J-\pi\varrho^2}{\varrho^2 (\pi\varrho^2)}= 2\lim_{\varrho\to 0} \frac{U-2\pi\varrho}{\varrho^2(2\pi\varrho)}. \] Vermeil dehnt dies Ergebnis auf den \(n\)-dimensionalen Raum Riemann’s aus, in dem die Maßbestimmung durch eine positive definite quadratische Differentialform vorgeschrieben ist. Anstelle des Gauß ischen Krümmungsmaßes tritt die ebenfalls skalare sogenannte “mittlere Krümmung”, die man aus Riemanns Krümmungstensor durch Verjüngung erhält. Man findet für die skalare Krümmung die Formel: \[ \frac{6(n+2)}{n(n-1)}\;\lim_{\varrho \to 0}\;\frac{J_n-V_n}{\varrho^2J_n}= \frac{6}{n-1}\;\lim_{\varrho \to 0}\;\frac{F_n-O_n}{\varrho^2F_n}. \] Darin bedeuten \(J_n\) den Inhalt und \(F_n\) die Oberfläche der unendlich kleinen geodätischen Kugel vom Halbesser \(\varrho\) und \(V_n\) und \(O_n\) die entsprechenden Invarianten für die Euklidische Kugel vom gleichen Halbmesser.
Die Rechnung wird mittels der Riemannschen Normalkoordinaten durchgeführt und durch eine invariantentheoretische Betrachtung erheblich vereinfacht.

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