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Mémoire sur la théorie des liaisons finies unilatérales. (French) JFM 46.1178.01

In dieser Arbeit wird in umfassender Weise ein Problem behandelt, das in der Mechanik in zahlreichen Spezialfällen aufzutreten pflegt. Ein materielles Punktsystem, das unter dem Einfluß irgendwelcher Kräfte steht, sei an eine endliche oder unendliche Anzahl von Bindungsgleichungen gebunden: \(\varphi_1(\omega)=0\), \(\varphi_2(\omega)=0, \dots\), wo die \(\omega\) die virtuellen Variationen der Eigenkoordinaten (allgemeinen Koordinaten) \(q\) des Punktsystems sind. Man kann dann ohne Einschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, daß die \(\varphi\) linear unabhängig voneinander sind (liaison non surabondante). Ersetzt man aber die Gleichungen durch Ungleichungen \(\varphi_1(\omega) \geqq 0, \varphi_2(\omega) \geqq 0, \dots\), so spricht Verf. von einseitigen Bindungen (liaisons unilatérales); man hat dann, wenn je zwei der \(\varphi\) linear abhängig sind, eine einfache einseitige Bindung (liaison unilatérale simple), hergestellt durch eine einzige Ungleichung \(X(\omega) \geqq 0\), ferner, wenn es unter den \(\varphi\) nur zwei linear unabhängige Funktionen \(X\) und \(Y\) gibt, eine doppelte einseitige Bindung (liaison unilatérale double), hergestellt durch ein System von Ungleichungen: \(X \geqq 0, Y \geqq 0, \lambda_1X+\mu_1Y \geqq 0, \dots\), usw. Deutet man im ersten Fall das \(X\) als Punktabszisse auf einer Geraden, im zweiten Fall \(X\) und \(Y\) als ebene rechtwinklige Punktkoordinaten usw., so hat man eine sehr einfache geometrische Darstellung des Bindungssystems, wenn man sich, wie Verf. das tut, auf einfache, doppelte und dreifache einseitige Bindungen beschränkt. Die unter gegebenen Anfangsbedingungen, die den Bindungen entsprechen, für ein gewisses Zeitintervall (ausschließlich Endpunkte) eintretende Bewegung genügt dann den folgenden Bedingungen: \[ \varphi_1(\omega)=0, \dots, \varphi_h(\omega)=0, \varphi_{h+1}(\omega)>0, \varphi_{h+2}(\omega)>0, \dots, \] wird also tatsächlich nur durch den Einfluß der ersten \(h\) Bindungsgleichungen (Reaktionskräfte!) bestimmt. Verf. spricht dann von “reduzierten” Bewegungen, wenn diese Zahl \(h\) kleiner ist als die Anzahl der linear unabhängigen Bindungsgleichungen \(f_1(q, t)=0, f_2(q, t)=0, \dots\), durch die das Problem ursprünglich gegeben ist, mit Anfangsbedingungen, die allen diesen Gleichungen entsprechen. Es tritt also zu dem gewöhnlichen Bewegungsproblem der Mechanik noch ein gewisses Auswahlproblem unter endlich vielen Fällen hinzu, die a priori alle zugleich möglich sind. Dieses Auswahlproblem, dem die ganze Abhandlung gewidmet ist, wird in der Praxis mit einem Hinweis auf die geometrische oder physikalische Anschauung des Spezialfalls (Betrachtung der durch die Bindungen hervorgerufenen Reaktionskräfte) beiseite geschoben; Verf. zeigt aber, daß diese Art des Schließens zu Widersprüchen führen kann.
In der vom Verf. aufgestellten allgemeinen Theorie wird zunächst der Fall behandelt, daß bis zu einem gewissen Zeitmoment \(t_1\) eine Bewegung vor sich geht, die durch ein Bindungssystem \(\varLambda+A\) bestimmt wird, daß aber dann im Zeitmoment \(t_1\) die Bindungen \(A\) plötzlich unterdrückt werden; die Werte der \(q\) sind dann bei beiden Bewegungen für \(t=t_1\) dieselben und durch Hypothese wird festgesetzt, daß dies auch für die \(q'\) gelten soll (Stetigkeit der Eigengeschwindigkeiten). Die Sprünge der \(q''\) ergeben sich dann aus den allgemeinen d’Alembertschen Bewegungsgleichungen, aufgestellt für beide Bewegungen; diese Bestimmungsgleichungen der Sprünge der \(q''\) nennt Verf. die Unstetigkeitgleichungen zweiter Ordnung. Im weiteren Verlauf führen diese Betrachtungen zu einer homogenen, quadratischen Form \(W\), die definit positiv ist und dementsprechend sowie ihrer Herleitung wegen als lebendige Kraft der Bindungen \(A\) definiert wird; mit Hilfe dieser Funktionen \(W\) wird dann eine Abbildung der vorher erwähnten geometrischen Bilder der Bindungungleichungen sowohl für die Ebene als auch für den Raum vorgenommen.
Diese Betrachtungen bilden die Grundlage für die dynamischen Untersuchungen des zweiten Teils der Arbeit, die zu dem Resultat führen, daß immer unter den gegebenen Anfangsbedingungen entweder keine oder eine einzige “reduzierte” Bewegung dynamisch möglich ist; ist das letztere der Fall, so tritt diese reduzierte Bewegung wirklich ein (Hypothese unter Berufung auf die Experimentalerfahrung). Die allgemeinen Untersuchungen dieses zweiten Teiles der Arbeit werden in glücklicher Weise durch zwei Beispiele belebt, die einerseits hinreichend einfach und andererseits doch in bezug auf das Problem der Abhandlung hinreichend kompliziert sind.
Verf. hat dasselbe Problem bereits in seinem Werke: “Leçons sur la dynamique des systèmes matériels” behandelt, doch blieben damals noch Lücken zurück. Es scheint, daß in der vorliegenden Arbeit dieses eigenartige endliche Auswahlproblem der Mechanik einer endgültigen allgemeinen Lösung zugeführt worden ist.

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