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Zur Einsteinschen Gravitationstheorie. (German) JFM 46.1303.03
Leipz. Ber. 68, 199-203 (1916).
Von einem Punkte des Riemannschen vierdimensionalen Raums \((M_4)\) mögen zwei Richtungen \(\xi_\mu^0\) und \(\xi_\mu^1\) ausgehen. Das durch sie bestimmte lineare Büschel ergibt, wenn man die geodätischen Linien zu diesen Anfangsrichtungen zieht, eine zweidimensionale Fläche, deren Gaußsche Krümmung (01) heiße. Dann ist (01) der Quotient zweier quadratischer Formen der \[ \pi_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} \xi_\mu^0 & \xi_\nu^0 \\ \xi_\mu^1 \xi_\nu^1 \end{vmatrix}, \] wo die Koeffizienten im Zähler die Komponenten \(K_{\mu \nu \varrho \sigma}\) des Riemann-Christoffelschen Tensors sind. Wenn man nun vier beliebige zueinander orthogonale Richtungen von einem Punkt aus zieht und die nach dem Gesagten dadurch bestimmten sechs Gaußschen Krümmungen berechnet und addiert, so ist, wie der Verf. zeigt, die Summe von der Wahl der vier Ausgangsrichtungen unabhängig und kann passend die mittlere Krümmung des \(R_4\) genannt werden. Ihr Wert ist \(K=\varSigma_{\mu \nu \varrho \sigma} K_{\mu \nu \varrho \sigma} g^{\mu \varrho} g^{\nu \sigma}\). Zeichnen wir eine der vier Richtungen, die (1), aus, und bilden die Summe der durch die drei andern bestimmten Gaußschen Krümmungen, so ist diese Summe nur von der Richtung (1) abhängig, und der Verf. nennt sie die mittlere Krümmung des \(R_4\) normal zur Richtung (1). Ihr Wert ist \[ (23)+(24)+(34)=\frac{\sum_{\mu \nu} G_{\mu \nu} \xi_\mu^1 \xi_\nu^1}{ \sum_{\mu \nu} g_{\mu \nu} \xi_\mu^1 \xi_\nu^1} . \] Dabei ist \(G_{\mu \nu}=\frac 12 Kg_{\mu \nu}-K_{\mu \nu}\) und \(K_{\mu \nu}=\sum_{\varrho, \sigma} K_{\mu \varrho \nu \sigma} g^{\varrho \sigma}\). Das sind aber offenbar die linken Seiten der Einsteinschen Feldgleichungen \(G_{\mu \nu}=-\kappa T_{\mu \nu}\), die dadurch geometrisch gedeutet werden. Die vier zwischen den \(G_{\mu \nu}\) nach Einstein bestehenden Identitäten haben die geometrische Bedeutung, daß die mittlere Krümmung des \(R_4\) konstant ist, wenn sie in einem Punkt normal zu allen Richtungen dieselbe ist.