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Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze anziehen. 1. Abhandlung; Homogene Flüssigkeiten. Allgemeine Existenzsätze. (German) JFM 46.1401.01

“Ein wesentlicher, von Poincaré postulierter Existenzsatz besagt, daß von einer jeden Gleichgewichtsfigur rotierender homogener Flüssigkeit, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze anziehen, im allgemeinen eine (der reguläre Fall), in besonderen Fällen mehr als eine lineare Reihe von Gleichgewichtsfiguren (der Verzweigungsfall) ausgeht Bei den Flüssigkeitsellipsoiden bietet der reguläre Fall nichts Neues; – man erhält die bekannten, zu den Nachbarwerten der Winkelgeschwindigkeit gehörigen Ellipsoide. Anders, wenn der Verzweigungsfall vorliegt. Hier ist die Existenz neuer, von den Ellipsoiden verschiedener Gleichgewichtsfiguren anzunehmen.
Einen strengen Beweis der Existenz unendlich vieler Gleichgewichtsfiguren in der Nähe der Maclaurinschen und der Jacobischen Ellipsoide sowie eine vollständige Erledigung der daran anknüpfenden Stabilitätsfragen hat Liapounoff in einer Folge groß angelegter Abhandlungen geliefert. (Vgl. F. d. M. 39, 763 (JFM 39.0763.*), 1908; 41, 787, 1910; 43, 806, 1912; 45, 1182, 1914-15.)
In der vorliegenden Abhandlung wird der von Poincaré postulierte Existenzsatz in voller Allgemeinheit bewiesen. In dem ersten Kapitel wird das Problem auf die Auflösung einer nichtlinearen Integro-Differentialgleichung, die in einer entsprechend spezialisierten Gestalt bereits bei Liapounoff vorkommt, zurückgeführt. Diese Gleichung wird sodann durch sukzessive Approximationen gelöst. Eine Hauptrolle spielt hierbei eine gewisse lineare homogene Integralgleichung: Sie hat, wenn die Gleichgewichtsfigur, von der ausgegangen wird, aus Umdrehungskörpern um die Rotationsachse besteht, mindestens eine, sonst mindestens zwei linear unabhängige Nullösungen. Sind diese trivialen Nullösungen die einzigen von Null verschiedenen Lösungen der Integralgleichung, so liegt der reguläre Fall vor; gibt es weitere Nullösungen, so hat man mit einem Verzweigungsfall zu tun. Die von Liapounoff und von Poincaré für Ellipsoide aufgestellten Kriterien erscheinen damit in einem neuen Licht.
In dem vierten Kapitel wird der folgende Satz bewiesen. Die Gesamtheit der reellen Gleichgewichtsfiguren in der Nachbarschaft der Ausgangsfigur, die von Jordanschen Flächen begrenzt sind, ein von dem Volumen jener Figur hinreichend wenig verschiedenes Volumen haben und zu einem Werte \(\omega_1\) der Winkelgeschwindigkeit in der Umgebung des Wertes \(\omega\) gehören, ist durch die in den Kapiteln II und III gefundenen reellen Figuren erschöpft. Dieses Resultat ist in dem besonderen Falle der Flüssigkeitsellipsoide, als Ausgangsfiguren schon früher von Liapounoff abgeleitet worden. Es gilt ferner der folgende weitergehende Satz: Es sei eine von einer endlichen Anzahl Jordanscher Flächen begrenzte, aus einer oder mehreren Massen bestehende Gleichgewichtsfigur vom bestimmten Volumen gegeben, und es möge die Schwerkraft, d. h. die Resultierende aus Anziehungs- und der Zentrifugalkraft, auf allen Randkomponenten von Null verschieden sein. Man kann dann in mannigfaltiger Weise Systeme Gaußscher Parameter bestimmen, so daß die kartesischen Koordinaten der Punkte auf einer jeden Randkomponente, als Funktionen jener Parameter aufgefaßt, stetige Ableitungen aller Ordnungen haben. Wahrscheinlich sind die Randflächen stets analytisch und regulär.”

Citations:

JFM 39.0763.*
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