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A necessary and sufficient condition for the existence of a Stieltjes integral. (English) JFM 46.1458.03
\(f(x)\) sei beschränkt im Intervall \(a \leqq x \leqq b\) und \(u(x)\) sei in diesem Intervall von beschränkter Schwankung. Damit das Stieltjessche Integral \(\int_a^b fdu\) existiert, ist notwendig und hinreichend, daß die Totalschwankung von \(u(x)\) auf der Menge \(D\) der Unstetigkeitspunkte von \(f(x)\) Null sei.
Dabei ist, wenn \(U(x)\) die Totalschwankung von \(u(x)\) in dem Intervall \((a, x)\) bedeutet und für irgendein Teilintervall \(\alpha=(x_1, x_2)\) von \((a, b)\) gesetzt wird, \[ \overline{U}(\alpha)=U(x_2)-U(x_1), \] die Totalschwankung von \(u(x)\) auf \(D\) definiert als die größte untere Grenze der Summen \[ \sum_{k=1}^\infty U(\alpha_k) \] für abzählbare Intervallfolgen \(\{ \alpha_k \}\), die die Punkte von \(D\) als innere Punkte enthalten.
Subjects:
Nachtrag. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. A. Differentialrechnung. B. Integralrechnung. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.