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Intégrales de Lebesgue. Fonctions d’ensemble. Classes de Baire. (French) JFM 46.1519.01

Paris: Gauthier-Villars. viii, 154 S. (1916).
Der vorliegende Band der Borelschen Monographiesammlung enthält die Vorlesungen, welche der Verf. im Jahre 1915–16 an dem Collège de France gehalten hat. Hierbei geht er öfters auf Gedankengänge zurück, die er schon früher in seinen Vorlesungen an der Harvard-Universität [vgl. Trans. Am. Math. Soc. 16, 435–501 (1915; JFM 45.0441.06)], angeschnitten hat. Den Hauptgegenstand bildet die Untersuchung der additiven Mengenfunktionen. Dies wird in den beiden ersten Teilen durchgeführt. Der dritte Teil ist den Baireschen Klassen gewidmet.
Der erste Teil beschäftigt sich mit den grundlegenden Ideen von Borel und Lebesgue bezüglich meßbarer Mengen und des Integralbegriffes. Nach allgemeinen Sätzen über Punktmengen (es wird fast alles hergeleitet, was später gebraucht wird) geht der Verf. auf die Borel-Lebesguesche Definition des Maßes ein, das als die einfachste additive Mengenfunktion hingestellt wird. Diese ist definiert durch die Forderung der Additivität, und zwar in dem erweiterten Sinne, daß sie für unendlich viele Summanden gilt, ferner durch Festsetzung ihres Werkes für die Strecke. Darauf folgt eine höchst einfache und elegante Begründung der Borel-Lebesgueschen Maß- und Integraltheorie. Gleichzeitig wird auch die Bairesche Klassifikation der unstetigen Funktionen gestreift sowie ihr Zusammenhang mit dem Begriff der (B)-Meßbarkeit. Es sei noch der Lebesguesche Satz über Integration von Funktionenfolgen und seine Erweiterungen, der Zusammenhang mit dem Riemannschen Integral und Verallgemeinerungen auf mehrfache Integrale erwähnt.
Im zweiten Teil wird die im erweiterten Sinne additive Mengenfunktion definiert, ferner die Begriffe Stetigkeit und absolute Stetigkeit einer solchen Funktion. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit der Ableitung einer additiven Mengenfunktion sowie mit der tieferen Analyse dieses Begriffes, die von H. Lebesgue [Ann. Éc. Norm. (3) 27, 361–450 (1910; JFM 41.0457.01)] herrührt. Hierbei benutzt der Verf. neue Methoden, die wegen ihres elementaren Charakters den früheren wohl vorzuziehen sind. Diese “méthode des réseaux”, welche der Verf. schon in seinen Harvard-Vorlesungen benutzt und hier durch Hinzufügen des Begriffes “résaux conjugués” weiter vervollständigt hat, macht u. a. den von Lebesgue verwendeten geometrischen Satz von Vitali entbehrlich. Ein weiteres Kapitel ist der von Lebensgue entwickelten Theorie des unbestimmten Integrals gewidmet. Wenn \(f(P)\) eine im ganzen Raum definierte, auf jeder beschränkten Menge summable Funktion ist, so definiert das unbestimmte Integral \[ F(e)=\int_e f(P)\,dP \] eine absolut stetige, additive Mengenfunktion, von der gezeigt wird, daß sie die allgemeinste derartige Funktion ist. Das Schlußkapitel des zweiten Teiles beschäftigt sich mit den auf einer abgeschlossenen Familie von Mengen definierten additiven Mengenfunktionen. Eine Familie von Mengen heißt abgeschlossen, wenn sie die Intervalle enthält, wenn ferner die Summe, Differenz, Produkt von endlich oder unendlich vielen Mengen der Familie gleichfalls zur Familie gehört. Insbesondere verfeinert hier der Verf. zahlreiche Sätze über derivierte Zahlen sowie über Funktionen von beschränkter Schwankung, mit denen er sich zum Teil schon in seiner Transactions-Arbeit beschäftigt hat.
Der letzte Teil bringt im Gegensatz zu den beiden ersten “deskriptive” Eigenschaften von Funktionen. Im Mittelpunkt steht hier die wohlbekannte Fragestellung von Baire sowie der folgende Satz von Lebesgue: Eine Funktion ist dann und nur dann von der Klasse 1 auf einer perfekten Menge \(P\), wenn die Punkte von \(P\), für welche \(f>A\) bzw. \(f<A\) gilt, eine Menge bilden, welche als Summe von abgeschlossenen Mengen aufzufassen ist, \(A\) beliebig [H. Lebesgue, Bull. Soc. Math. Fr. 33, 273–274 (1905; JFM 36.0527.01)]. Verf. gibt hier eine neue Herleitung für diesen Satz. Schließlich folgt ein Kapitel über Funktionen höherer Klassen, worin gleichfalls Bairesche und Lebesguesche Ideen berührt werden. Die Darstellung ist überall von extremer Einfachheit und Eleganz.

MSC:

28-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to measure and integration
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type

JFM Section:

Anhang.
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