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Der Ursprung des Zahlbegriffs. (German) JFM 47.0042.03
In den “Grundlagen der Analysis” (1909) hat Pasch es unternommen, die Arithmetik auf Kernsätze (Grundsätze, Axiome), die Kernbegriffe (Grundbegriffe) miteinander verknüpfen, in derselben Weise zurückzuführen, wie dies für die Geometrie schon vielfach geschehen war. Als Kernbegriffe der Arithmetik stellten sich die kombinatorischen Begriffe heraus; aus ihnen erst nimmt der Zahlbegriff seinen Ursprung. Aus dieser Erkenntnis ist das erwähnte Buch hervorgegangen, jedoch in so gedrängter Darstellung, daß der Verf. in einem zweiten Buche “Veränderliche und Funktion” (1914) vielfach weitere Ausführungen geben mußte. Allein auch danach bestand das Bedürfnis, vor allem den Abschnitt der “Grundlagen” von § 1 is § 15, der von den Kernbegriffen stufenweise zu den natürlichen Zahlen und zu deren dekadischen Namen hinführt, neu zu bearbeiten und ihn dadurch dem allgemeinen Verständnis zugänglich zu machen. So ist eine von Grund auf neue Bearbeitung jenes Abschnitts entstanden.
Der Verf. war jetzt darauf bedacht, die Forderung der “Entscheidbarkeit” von Anfang an zur Geltung zu bringen. Infolgedessen mußte er die in den erwähnten Büchern gegebene Sammlung von Kernbegriffen und Kernsätzen erweitern. Die nunmehr in dem Kern niedergelegten, äußerst einfachen Erkenntnisse erweisen sich als unentbehrlich nicht nur für die Mathematik, sondern für alles Denken überhaupt. Auf diese Tatsache gründet der Verf. das Urteil über die Widerspruchslosigkeit des für die Zahlenlehre aufgestellten Kerns und über das Verhältnis der Zahlenlehre zur Erfahrung.
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