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Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen. (German) JFM 47.0106.01
Berlin: J. Springer, IV u. 74 S. gr. \(8^\circ\) (1919).
In seiner unübertrefflich klaren Darstellungsart entwirft Hurwitz in dem kleinen Büchlein von 74 Seiten die Grundzüge einer Zahlentheorie der Quaternionen, einem sehr reizvollen, noch wenig ausgebautem Kapitel der Mathematik. Hurwitz hatte 1896 in den Göttinger Nachrichten eine solche Theorie entwickelt und bringt hier eine etwas ausführlichere Darstellung seiner damaligen Resultate, wobei übrigens nur die Elemente der rationalen Zahlentheorie vorausgesetzt werden. In den ersten 3 Vorlesungen werden die Grundeigenschaften der Quaternionen \(a_0 + a_1i_1 + a_2i_2+a_3i_3,\) der aus solchen gebildeten Körper, insbesondere des Körpers \(R\) der rationalen Quaternionen, entwickelt und die Permutationen von \(R\) bestimmt, d. h. die Abbildungen von \(R\) auf sich selbst, welche alle rationalen Beziehungen bestehen lassen. Die Vorlesung 4 enthält die Definition der ganzen Quaternionen – abweichend von der 1886 durch Lipschitz aufgestellten: Hurwitz definiert die Menge der ganzen Quaternionen als den umfassendsten endlichen Integritätsbereich \(J\), welcher die vier Einheiten \(1, i_1, i_2, i_3\) enthält. Eine Basis desselben ist z. B. \( \frac {1+i_1+i_2+ i_3}2, i_1, i_2, i_3\). Es gibt genau 24 Permutationen dieses Bereiches \(J\). In den Vorlesungen 6-10 wird dann die Zerlegung in Primelemente untersucht, ausgehend von einem Euklidischen Algorithmus wie auch unter Verwendung eines Idealbegriffes. Der Zerlegungssatz lautet: Ist \(c\) eine primitive Quaternion (d. h. ohne rationalen Teiler und mit gewissen Kongruenzeigenschaften mod. 2), und ist ihre Norm, in rationale Primzahlen zerlegt, gleich \(p^hq^k \dot s,\) so ist \(c\) auf eine einzige Art in die Form zu setzen \[ c=\pi_1\dot \pi_2 \dot s \pi_h\dot \kappa_1\dot \kappa_2 \dot s \kappa_k\dot s, \] wo \(\pi_1 \dot s, \pi_h\) primäre Primquaternionen mit der Norm \(p, \kappa_1, \dot s, \kappa_k\) solche von der Norm \(q\), usw. sind. – Die zwei letzten Vorlesungen bringen Anwendungen der Theorie auf die Untersuchung der Darstellung einer ganzen Zahl als Summe von vier Quadraten, und auf ein Eulersches Problem, das mit den ganzzahligen orthogonalen Matrizen 4. Grades zusammenhängt. – Das Buch laßt ahnen, welche Schätze wir einmal bei der Herausgabe der Vorlesungen des so früh verstorbenen Verfassers zu erhoffen haben. (II 5.)