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Über die Kroneckersche Grenzformel für reelle quadratische Körper und die Klassenzahl relativ-Abelscher Körper. (German) JFM 47.0144.01
Verh. Naturf. Ges. Basel 28, 363-372 (1917).
Ist \(\varphi (m, n)\) eine binäre, quadratische Form, und entwickelt man: \[ f(s) \equiv \sum_{m,n =-\infty}^{+\infty}{}' \varphi (m,n)^{-s} = \frac {a_{-1}}{s-1}+a_0+a_1(s-1)+ \cdots, \] so hat Kronecker zum ersten Male den Koeffizienten \(a_0\) berechnet. Dabei muß aber vorausgesetzt werden, daß die Diskriminante von \(\varphi (m, n)\) negativ sei, da sonst die Reihe nicht konvergiert. Das entsprechende Problem wird nun vom Verf. für positive Diskriminanten gelöst. Ist \({\mathfrak a} = (\alpha_1, \alpha_2)\) Ideal eines beliebigen reellen quadratischen Zahlkörpers, und durchläuft \(\mu\) alle Zahlen von \({\mathfrak a},\) die sich nicht nur um eine Einheit unterscheiden, so lautet die Aufgabe so: Es ist die Reihe: \[ f(s) \equiv \sum_{\nu}| \nu\nu'| ^{-s} = \frac {a_1}{s- 1}+a_0+a_1(s-1)+ \cdots \] in den beiden ersten Gliedern zu bestimmen. Führt man in bekannter Weise das Integral der Gammatunktion ein, so folgt: \[ \frac{ \Gamma \left( \frac s2\right)^2}{\Gamma (s)} f(s) = \int_{-\log \varepsilon}^{ +\log \varepsilon}\{\sum_{m_1, m_2}{}'(\mu^2 e^v +\mu'e^{-v})^{-s}\}dv, \] wo \(\varepsilon\) die positive Grundeinheit des Körpers, \(\mu = m_1\alpha_1 + m_2\alpha_2,\) und die Summe über alle ganzen Zahlen \(m_1, m_2\) zu erstrecken ist. Das konstante Glied der Reihe kann jetzt berechnet werden: \[ a_0 = \frac {-2\pi(\Gamma'(1) +\log 4)}{(\alpha_1\alpha_2'- \alpha_2\alpha_1')}\log \varepsilon - \frac {\pi}{(\alpha_1\alpha_2-\alpha_2\alpha_1)}\int_{-\log \varepsilon}^{ +\log \varepsilon}\log \frac{\Delta \eta(\omega)\eta(-\omega')}{\alpha_1^2e^v +\alpha_1^{\prime 2} e^{- v}}dv, \] wo: \[ \begin{split} \Delta = \alpha_1\alpha_2'-\alpha_2\alpha_1', \;\omega = \frac {\alpha_2e^v +i\alpha_2'}{\alpha_1e^v +i\alpha_1'}, \;- \omega' = \frac{-\alpha_2 e^v +i\alpha_2'}{\alpha_1e^v - i\alpha_1'},\\ \eta(\omega) =e^{\frac {\pi i\omega}{12}} \prod_{n =1}^\infty (1- e^{2\pi in \omega}). \end{split} \]
Im zweiten Teil der Arbeit legt der Verf. einen beliebigen Zahlkörper zugrunde, und führt die Entwicklung ganz entsprechend durch.
Die Formel gestattet die sogenannte relative Klassenzahl eines Relativ-Abelschen Körpers zu seinem Grundkörper zu berechnen. Damit kann die Klassenzahl jedes auflösbaren Körpers berechnet werden.