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Abschätzung der Einheiten eines gegebenen algebraischen Körpers. (Finnish) JFM 47.0145.02
Finska Vet.-Soc. Förh. 61, (1) Nr. 13 (1919).
Aus dem Existenzbeweis, welchen Dirichlet für Einheiten in algebraischen Zahlkörpern gibt, wird durch genauere Abschätzung ein Intervall bestimmt, dem jedenfalls eine Einheit einschließlich ihrer Konjugierten angehört. Das Resultat ist folgendes: Es sei \(\vartheta\) eine ganze, den Körper \(K\) vom \(n\)-ten Grade erzeugende Zahl, die nebst allen Konjugierten einen Betrag \(\leqq r\) hat. Die elementar-symmetrischen Funktionen seien dem Betrage nach \(\leqq A.\) Dann gibt es eine Einheit \[ \varepsilon = \mu_0 + \mu_1 \vartheta + \cdots +\mu_{n- 1}\vartheta^{n-1}, \] die ganzen rationalen Zahlen \(\mu_i\) dem Betrage nach kleiner als \[ \frac{n^{ \frac n2}}{2^n} (A +1)^{(n-1)^2}\exp \left\{ \frac {4n}{(n +1)^2(n-2)} (1 +r^{2(n-1)})^{n +1} \left[ \frac{4(r^n- 1)}{r-1}\right]^{(n +1)(n +2)}\right\} \] sind. Vgl. hierzu die elegantere Abschätzung von Landau (Gött. Nachr. 1918), der die obere Grenze von \(\varepsilon\) allein als Funktion der Körperdiskriminante und von \(n\) angibt mit einer wesentlich einfacheren Vergleichsfunktion.