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Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen. II. (German) JFM 47.0152.01
Gemeinsames Referat zu den Teilen I (JFM 46.0258.01) und II.
Die bisher ausgesprochenen Sätze über die Verteilung von Idealen oder Zahlen von algebraischen Zahlkörpern faßten nur eine Anordnung derselben nach der Größe ihrer Normen ins Auge, also eine eindimensionale, während die Menge der Zahlen eines Körpers \(n\)-ten Grades ihrer Herkunft nach in der Anordnung einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit vorliegt. Verf. entwickelt nun in den beiden Arbeiten die analytischen Hilfsmittel, welche zu einer solchen “analytischen Zahlentheorie in \(n\) Dimensionen” nötig sind, und gibt als Anwendung derselben eine Reihe neuer Sätze über die Verteilung der Primideale, bzw. Primzahlen, welche durch ganzzahlige Formen \(n\)-ten Grades darstellbar sind. Es handelt sich darum, zunächst für \(n\) Veränderliche (konjugierte Zahlen im Körper \(n\)-ten Grades) solche Funktionen \(\lambda (\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \dot s, \alpha^{(n)}) = \lambda (\alpha)\) zu finden, die unverändert bleiben, wenn man \(\alpha\) durch seine assoziierten Zahlen ersetzt, die also nur vom Ideal \((\alpha)\) abhängen, und welche zweitens das Multiplikationstheorem \(\lambda (\alpha\beta)=\lambda (\alpha)\cdot \lambda (\beta)\) haben. Die allgemeinste Bestimmung solcher Funktionen, noch mit gewissen arithmetischen Verfeinerungen, wird in § 1 der II. Mitt. gegeben. Die Norm von \(\alpha\) ist bisher im wesentlichen als einzige Funktion dieser Art betrachtet worden. Abgesehen von der Norm gibt es aber noch \(n -1\) (im Sinne der Gruppentheorie) unabhängige solche Funktionen; alle haben den Betrag 1. Sie setzen sich formal aus 2 Bestandteilen zusammen, die einzeln bei den quadratischen Körpern auftreten: Im reellen quadratischen Körper mit der Grundeinheit \(\varepsilon\) ist \(\lambda_1(\alpha) = \text{exp}\left( \frac {\pi i}{\log | \varepsilon| }\log \left| \frac \alpha{\alpha'}\right| \right),\) im imaginären quadratischen Körper ist \(\lambda_1(\alpha) =\left( \frac \alpha {| \alpha| }\right)^2\) je eine solche Grundfunktion. Die Potenzen dieser mit ganzen rationalen Exponenten sind die allgemeinsten Funktionen \(\lambda\) mit den oben geforderten Eigenschaften, welche überdies homogen mit der Dimension 0 in den beiden konjugierten Argumenten \(\alpha, \alpha'\) sind. Alle diese Funktionen heißen Größencharaktere von \(\alpha\) (in der I. Mitt. wird der weniger passende Name “Charaktere nach den Einheiten” gebraucht). Die Werte der \(n -1\) Grundcharaktere im Verein mit der Norm legen die Zahl \(\alpha\) und ihre Konjugierten eindeutig fest, wenn man noch gewisse Festsetzungen über die Vorzeichen der Argumente trifft, die den reellen unter den konjugierten Körpern entsprechen. Analoges gilt auch, wenn die Argumente als stetig veränderlich betrachtet werden. – In der I. Mitt. werden nur diejenigen Größencharaktere untersucht, welche bloß von den absoluten Beträgen der Argumente abhängen (Typus des reellen quadratischen Körpers), die II. Mitt. ist den allgemeinsten Größencharakteren gewidmet. Es ist nun nicht schwer, mit den Hilfsmitteln der Gruppentheorie die Definition der Größencharaktere von den Zahlargumenten auf Ideale auszudehnen, indem man bedenkt, daß eine feste Potenz jedes Ideals ein Hauptideal ist. Am bequemsten läßt sich diese Übertragung mittels Einführung der idealen Zahlen vornehmen, in der Darstellung sind diese durch ein \(\wedge\) markiert (II, § 2-4). Mit Hilfe eines allgemeinen Größencharakters \(\lambda ({\mathfrak a})\) bilde man nun die für \({\mathfrak R}(s) > 1\) konvergenten Reihen \[ \zeta (s; \lambda)= \sum_{\mathfrak a} \frac {\lambda ({\mathfrak a})}{| N({\mathfrak a})| ^s}, \] worin \({\mathfrak m a}\) alle ganzen Ideale des Körpers mit \(N({\mathfrak a}) \neq 0\) durchläuft. Wegen \(\lambda ({\mathfrak ab})=\lambda ({\mathfrak a}) \cdot \lambda ({\mathfrak a})\) gilt auch die Darstellung als Produkt über die Primideale \({\mathfrak p}\) \[ \zeta (s;\lambda) =\prod_{{\mathfrak p}}\left(1=- \frac{\lambda({\mathfrak p})}{N({\mathfrak p})^s}\right)^{-1}. \] Diese von den \(n -1\) in \(\lambda \) vorkommenden ganzzahligen Parametern abhängigen Funktionen bilden das zu Eingang geforderte analytische Äquivalent der Zahlentheorie in \(n\) Dimensionen. Mit der bei der Dedekindschen Zetafunktion verwendeten Methode lassen sich auch die \(\zeta (s; \lambda)\) in die ganze Ebene fortsetzen. Es sind ganze Funktionen, die gewissen Funktionalgleichungen genügen. Als Typen derselben seien erwähnt:
1. Im reellen quadratischen Körper: \[ \xi(s;\lambda_1^n) =A^s\Gamma \left( \frac s2 + \frac {\pi in}{4\log \varepsilon}\right)\Gamma\left( \frac s2- \frac {\pi in}{4\log \varepsilon}\right) \zeta(s;\lambda^n). \]
2. Im imaginären quadratischen Körper: \[ \xi (s; \lambda_1^n) = A^s \Gamma(s + | n| ) \zeta (s; \lambda^n). \] In beiden Fällen ist \(\xi(s; \lambda^n)\) eine ganze Funktion und \[ \xi(1- s; \lambda_1^{-n}) = W(\lambda_1^n) \xi(s; \lambda_1^n). \] Dabei bedeutet \(n\) eine beliebige ganze Zahl \((\neq 0), A\) eine nur vom Körper abhängige Konstante, \(W\) eine von \(s\) unabhängige Zahl vom Betrage 1. Zur Herleitung dieser Tatsachen wird wieder eine Transformationsformel für Thetafunktionen benutzt, die aber im allgemeinen Falle noch mehr Parameter enthalten muß als die bei der Dedekindschen Zetafunktion gebrauchte (II, § 5, 6; I, § 4).
Das Nichtverschwinden der \(\zeta (s; \lambda)\) bei \(s =1\) zieht nun wieder einen Existenzsatz für Primideale nach sich, der in I, \(\S\) 3 durch eine Verallgemeinerung der Schlußweise von Dirichlet bewiesen wird, welche ziemlich elementarer Natur ist, obwohl es sich hier um die gleichzeitige Betrachtung unendlich vieler Charaktere handelt. Die genauere asymptotische Abschätzung der Verteilung der Charakterenwerte für Primideale erfordert aber die Heranziehung eines tieferen Satzes von Weyl über die Verteilung von Zahlen mod. 1 (II, § 7). Übersetzt man den so gefundenen Sachverhalt in die Sprache der Formentheorie, so ergeben sich Sätze von folgender Art: Jede der Formen \(x^2+y^2\) und \(x^2 - 2y^2\) stellt unendlich viele Primzahlen dar, wenn man die Variabeln \(x, y\) auf eine beliebigen Winkelraum einschränkt, welcher von zwei vom Nullpunkt der \(x- y\)-Ebene ausgehenden Halbstrahlen begrenzt wird. Überdies ist die Anzahl dieser Primzahlen unterhalb \(t\) für \(t\to \infty\) asymptotisch proportional der Größe dieses Winkels, gemessen in einer auf die betreffende Form gegründeten Klein-Cayleyschen Massbestimmung (I, § 5; II, § 8-10). (IV 4.)
[s.a. Math. Werke, pp. 249–289 (1959)]

MSC:
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11R45 Density theorems
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