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Über ganzwertige Polynome in algebraischen Zahlkörpern. (German) JFM 47.0163.05
Als ganzwertig in einem Körper \(K\) wird ein Polynom \(P(x)\) bezeichnet, wenn \(P(\xi)\) für jedes ganze \(\xi\) aus \(K\) ebenfalls ganz ist. Es wird nun gefragt, wann in \(K\) eine Folge von ganzwertigen Polynomen – eine reguläre Basis – \[ P_0(x), P_1(x), \dot s, P_1(x), \dot s \] von den Graden \(0, 1, \dot s, i, \dot s\) existiert mit der Eigenschaft, daß jedes ganzwertige Polynom in \(K\) sich aus diesen Polynomen mit ganzen Koeffizienten aus \(K\) zusammensetzen läßt. Jedes ganzwertige Polynom in \(K\) vom Grade \(m\) läßt sich in der Form schreiben \[ \frac {\alpha x^m+\beta x^{m-1}+ \cdots \lambda }{m!}, \] wo \(\alpha, \beta, \dot s, \lambda\) ganz sind. Die ganzen Zahlen \(\alpha\) in dieser Darstellung bilden ein Ideal \({\mathfrak U}_m,\) und die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer regulären Basis ist, daß alle Ideale \({\mathfrak U}_m\) zur Hauptklasse gehören. Weitere Diskussion zeigt, daß alle \({\mathfrak U}_m\) in einem quadratischen Körper dann und nur dann Hauptideale sind, wenn alle Primidealteiler der Diskriminante es sind.
Weiter löst der Verf. die Frage, welche ist die höchste Potenz \({\mathfrak p}^{\psi ({\mathfrak p})}\) eines Primideals \(\mathfrak p,\) die für alle ganzen \(\xi\) aus \(K\) die Werte eines ganzzahligen Polynoms \(P(x) m\)-ten Grades teilen kann, falls nicht alle Koeffizienten von \(P(x)\) durch \(\mathfrak p\) teilbar sind. Es ergibt sich das Resultat \[ \psi({\mathfrak p}) =\sum_{i =1}^m \left[ \frac m{N({\mathfrak p}^i)}\right]. \] Mit Hilfe dieser Resultate wird sodann gezeigt, wie eine reguläre Basis für die Körper \(K\) mit der Klassenzahl 1 zu konstruieren ist.
Die im Anschlußan die obigen, in der ersten Arbeit von G. Pólya (J. für Math. 149, 97-116) durchgeführten Untersuchungen von Pólya aufgeworfene Frage nach den Bedingungen fürdie Existenz einer regulären Basis für ganzwertige Polynome wird in der zweiten von A. Ostrowski für einen beliebigen endlichen Körper allgemein entschieden. Als die notwendige und hinreichende Bedingung ergibt sich: Bildet man das Produkt aller Primideale von demselben Grad, die eine rationale Primzahl \(p\) teilen, so muß dieses Produkt für jeden Grad und für jedes \(p\) zur Hauptklasse gehören. – Für normale Körper hängt die Existenz der Basis nur von den Diskriminantenteilern ab. Z. B. existiert eine reguläre Basis in allen durch die Adjunktion einer primitiven Einheitswurzel vom Primzahlpotenzgrade entstehenden Zahlkörpern. Dieselbe Untersuchung wird für ganzwertige Polynorne in mehreren Variabeln durchgeführt und es ergibt sich dieselbe Bedingung für die Existenz einer geeignet definierten regulären Basis.

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Full Text: DOI Crelle EuDML