On the consistency and equivalence of certain generalized definitions of the limit of a function of a continuous variable. (English) JFM 47.0205.02

Silverman, L. L.

Annals of Math. (2) 21, 128-140 (1919).

In einer früheren Arbeit (F. d. M. 46, 321 (JFM 46.0321.*), 1916-18) haben Hurwitz und Silverman gewisse Klassen von Limitierungsverfahren für Zahlenfolgen eingehend untersucht; und der zweite Verf. hat in einer anderen Arbeit (F. d. M. 46, 435 (JFM 46.0435.*), 1916-18) in ähnlicher Weise solche Verfahren für Funktionen betrachtet: Wenn \(u(x)\) für \(x\geqq 0\) definiert ist, wird mit Hilfe eines Koeffizienten \(\alpha\) und eines “Kernes” \(k(x, y)\) die Funktion \[ v(x) = \alpha u (x) + \int_0^x k(x, y) u(y) dy \] eingeführt und \(v(x)\) als \((\alpha, k)\)-Transformation von \(u(x)\) bezeichnet. Wenn mit \(\lim u(x)\) auch \(\lim v(x)\) existiert, heißt sie “regulär”; sie liefert dann ein Limitierungsverfahren. \(\left(0, \frac 1x \right)\) entspricht den arithmetischen Mitteln erster Ordnung \(\left(0, \frac {n(x-y)^{n- 1}}{x^n}\right)\) den Cesàroschen, \(\left(0, \frac 1{(n- 1)!x}\log^{n-1}\left( \frac xy\right)\right)\) den Hölderschen Mitteln \(n\)-ter Ordnung.
Zwei Verfahren \(A\) und \(B\) heißen miteinander “verträglich” (konsistent), falls sie für jede Funktion, auf die sie beide anwendbar sind, denselben Grenzwert liefern; sie heiße n äquivalent, falls sie genau dieselben Funktionen zu limitieren vermögen. – Es werden nun die Verfahren \(A\) näher untersucht, die aus dem \(\left(0, \frac 1x \right)\)- oder \(M\)-Verfahren durch den Ansatz \[ A = a_0E +a_1M +a_2M^2 +\cdots \] entstehen. Es gelten da u. a. die Sätze:
1) Ist \(f (z) =\sum a_nz^n\) für \(| z|\leqq 1\) regulär und ist \(f (1) = 1,\) so ist \(A\) ein reguläres Verfahren. – Die Hölderschen Mittel \(n\)-ter Ordnung entsprechen der Funktion \(f (x) = z^n,\) die Cesàroschen der Funktion \( \frac{n!z^n}{(1+ z) (1+ 2z) \cdots (1 +\overline{n-1}z)}.\)
2) Wenn die Verfahren \(A.\) und \(B\) zu \(f (z)\) und \(g(z)\) gehören, so gehört \(A,B\) zu \(f (z) g(z).\) – Sind beide Funktionen für \(| z|\leqq 1\) regulär, so ist also \(AB = BA.\)
3) Alle so definierten Verfahren sind miteinander verträglich.
4) Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daßzwei dieser Verfahren, etwa das zu \(f (z)\) und das zu \(g(z)\) gehörige, äquivalent sind, besteht darin, daß\(f (z)\) und \(g(z)\) in \(| z|\leqq 1\) die gleichen Nullstellen in gleicher Ordnung haben.
5) Die Cesàroschen und Hölderschen Verfahren gleicher Ordnung sind äquivalent. – Statt des Kreises \(| z| \leqq 1\) genügt es auch schon, den Kreis \(| z- \frac 12|\leqq \frac 12\) zugrunde zu legen. (IV 7.7.)

Reviewer: Knopp, Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 2. Allgemeine Theorie der unendlichen Zahlenfolgen (Reihen, Produkte und Kettenbrüche). Spezielle Folgen.

Citations:

JFM 46.0321.*; JFM 46.0435.*