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Note on a theorem of Hilbert. (English) JFM 47.0207.01
Verf. beweist (in Verallgemeinerung des früheren Spezialfalles \(k = 2):\) Ist \(a_n\geqq 0, k>1, \sum_{n =1}^\infty a_n^k\) konvergent, \(A_n =\sum_{\nu =1}^n a_\nu,\) so konvergiert \(\sum_{n=1}^\infty \left( \frac {A_n}n\right)^k,\) und es ist \[ (1)\quad \sum_{n =1}^\infty \left( \frac{A_n}n\right)^k\leqq \left( \frac{k^2}{k-1}\right)^k \sum_{n =1}^\infty a_n^k. \] Die entsprechende Integralungleichung \(\left(a > 0, F(x) \int_a^x f (t) dt\right)\) gibt er in der schärferen Form \[ (2)\quad \int_a^\infty \left( \frac Fx\right)^k dx\leqq\left( \frac k{k-1}\right)^k \int_a^\infty f^k dx \] und konstatiert, daß \(\left( \frac {k}{k-1}\right)^k\) hier die bestmögliche Konstante ist, sowie daß in (1) die Konstante durch keine kleinere Zahl als \(\left( \frac{ k}{k-1}\right)^k\) ersetzt werden kann.
Merkwürdigerweise sieht er nicht, daß aus (2) sofort \[ (3)\quad \sum_{n =1}^\infty \left( \frac{A_n}n\right)^k\leqq\left( \frac k{k-1}\right)^k\sum_{n =1}^\infty a_n^k \] folgt. Denn ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(a_1\geqq a_2 \geqq \cdots.\) Man setze \(a = 1, f (x) = a_n\) für \(n\leqq x < n +1.\) Für \(n\leqq x < n +1\) ist alsdann \( \frac Fx \geqq \frac {A_n}n,\) so daß (2) sofort (3) liefert.

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