Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen und über die Transformation der Doppelintegrale. I, II. (German) JFM 47.0243.01

Rademacher, H.

Math. Ann. 79, 340-359 (1919); 81, 52-63 (1920).

Das Ziel des 1. Teiles dieser Arbeit ist es, die Transformationsformel der Doppelintegrale in durchsichtiger Weise unter möglichst allgemeinen Bedingungen zu beweisen. Zu diesem Zweck wird zuerst die totale Differentiierbarkeit (im Stolzschen Sinne) einer Funktion \(f(x,y)\) untersucht, die in einem beschränkten Gebiet \(G\) einer geeignet erweiterten Lipschitzschen Bedingung genügt; insbesondere wird gezeigt, daß eine solche Funktion fast überall in \(G\) total differentiierbar ist. Weiter wird für zwei derartige Funktionen die Funktionaldeterminante untersucht: Es wird bewiesen, daß hier die Multiplikationsformel der Funktionaldeterminanten fast überall in \(G\) gilt, wenn noch die \(x,y\) als Funktionen der neuen Veränderlichen \(\xi, \eta\) geeignete Bedingungen erfüllen. Vor allem aber ist für das folgende wesentlich ein allgemeiner Satz über den Zusammenhang von Vergrößerungsverhältnis und Funktionaldeterminante: Die in \(G\) definierten, jener erweiterten Lipschitzschen Bedingung genügenden Funktionen \(u = f (x, y), v = g(x, y)\) vermitteln eine eindeutige Abbildung von \(G\) auf eine Menge \(U\) der \(u, v\)- Ebene; dann ist fast überall in \(G\) (nämlich dort, wo \(f (x, y)\) und \(g(x, y)\) zugleich total differentiierbar sind) das Vergrößerungsserhältnis der Abbildung gleich dem absoluten Betrag der Funktionaldeterminante. – Mit Hilfe dieses Satzes wird dann die schon in der Dissertation des Verf. (F. d. M. 46, 392 (JFM 46.0392.*), 1916) gewonnene allgemeine Form des Satzes von der Transformation der Doppelintegrale neu bewiesen und zwar in wesentlich einfacherer und durchsichtigerer Weise als früher und außerdem insofern noch etwas allgemeiner, als die Lipschitzsche Bedingung für die Transformationsfunktionen durch die hier benutzte erweiterte Lipschitzsche Bedingung ersetzt wird.
Der 2. Teil der Arbeit knüpft an den zuerst erwähnten Satz über totale Differentiierbarkeit an, der geometrisch formuliert besagt, daß unter der angegebenen Bedingung die Fläche \(z = f (x, y)\) fast überall in \(G\) eine Tangentialebene besitzt. Auf Grund dieses Ergebnisses kann man die elementare Definition des Flächeninhalts, die man sonst für Flächen mit stetig sich ändernder Tangentialebene gibt, auf die Flächen \(z = f (x, y)\) ausdehnen, bei denen \(f\) der (gewöhnlichen) Lipschitzschen Bedingung genügt. Das Entsprechende wird ausgeführt für die in der Gaußschen Parameterdarstellung gegebenen Flächen, wenn die Parameterfunktionen der Lipschitzschen Bedingung genügen. Für den elementar definierten Flächeninhalt \(I\) ergibt sich auch hier: \(I = \iint \sqrt {EG-F^2}du dv.\) (Letzteres berührt sich mit einer Untersuchung von W. H. Young [Lond. R. S. Proc. (A) 96, 71-81, 1919], der aber nicht wie der Verf. einen einfachen, sondern einen doppelten Grenzübergang zur Definition von \(I\) benutzt).

Reviewer: Rosenthal, Prof. (Heidelberg)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen. Mengentheoretische Methoden. Neuere Theorie der Integration und der Bestimmung des Volumens und der Oberfläche. Folgen von Funktionen. Approximation reeller Funktionen durch Polynome.

Citations:

JFM 46.0392.*

References:

[1]	Bei jedertotalstetigen Funktion zweier Variabeln findet ?brigens Differenzierbarkeit im Stolzschen Sinne wenigstens in einem ma?gleichen Kern vonG statt; siehe C. Carath?odory. Reelle Funktionen (Leipzig 1918), S. 661, Satz 7. Dieses Buch wird im Folgenden mit R. F. zitiert.
[2]	R. F. S. 551, Satz 9.
[3]	G. Fubini, Sugli integrali multipli (Rend. della R. Accademia dei Lincei 1907), auch R. F. S. 632, Satz 4. · JFM 38.0343.02
[4]	R. F. S. 597, Satz 4 zusammen mit S. 545, Satz 2.
[5]	R. F. S. 628, Satz 3.
[6]	R. F. S. 382, Satz 12, doch bedarf f?r unsere Anwendung dieser Satz samt seinem Beweis einer leicht anzubringenden Erweiterung f?r den Fall des Grenz?bergangs in einemsteiger Parameter.
[7]	R. F. S. 288, Satz 12.
[8]	R. F. S. 205, Satz 2.
[9]	Lebesgue, Sur l’int?gration des fonctions discontinues, Annales de l’Ecole Normale Sup?rieure 1910 (3), Bd.27, S. 399-401. Auch R. F. S. 497, Satz 3. Die Dichte ist aufzufassen als eine verallgemeinerte Derivierte des unbestimmten Integrals derjenigen summierbaren Funktion, die aufT gleich 1 und aufG?T gleich 0 ist.
[10]	Eine solche Funktion zweier Variabeln braucht nach einem Beispiel von C. Carath?odory (R. F. S. 655) nicht totalstetig zu sein. Vgl. S. 340 Anm. *).
[11]	Eineindeutige Abbildungen und Me?barkeit, G?ttinger Diss. 1917, S. 107 f. (auch Monatshefte f. Math. u. Phys., Bd. 27, 1916, S. 288 f.) Im Folgenden zitiert als Dissertation.
[12]	Diss. S. 9, Satz II.
[13]	Herr Ch. J. de la Vall?e Poussin hat den entsprechenden Satz f?reine Variable bewiesen und seine Wichtigkeit hervorgehoben, Transactions of Amerimerican Mathematical Society 16, 1915, S. 467, Corollaire.
[14]	Obgleich wir im ? 2 die Dichte in einem PunkteP 0 mit Hilfe von Kreisen umP 0 definiert haben, k?nnen wir hier Quadrate zu dem gleichen Zweck benutzen, da der in Anmerkung*), S. 344 zitierte Satz f?r diewerallgemeinerte Derivierte gilt.
[15]	Diss. S. 57, Satz XXI und S. 59, Satz XXII.
[16]	Diss. S. 52. Satz XIX.
[17]	Diss. S. 107, Satz XXVI.