×

zbMATH — the first resource for mathematics

Bemerkungen über Vertauschung von Limes und Integral. (German) JFM 47.0247.01
Es wird ein bekannter von Arzelà und später in speziellerer Form von Osgood bewiesener Satz über Riemannsche Integrale ohne Benutzung der Lebesgueschen Theorie zu dem folgenden erweitert: “Ist für \(a\leqq x leqq b f_\nu(x)\) eine Folge von (nicht notwendig beschränkten) Funktionen, für die \(\lim_{\nu \to \infty} f_\nu (x) = f (x),\) und sind sowohl \(f_\nu(x)\) als \(f (x)\) gleichzeitig mit ihrem absoluten Betrag integrabel, bleiben ferner die \(| f_\nu(x)|\) für jedes \(\nu =1, 2, \dots\) unterhalb einer von \(\nu\) unabhängigen integrablen Funktion \(\Phi(x),\) so gilt \[ \lim_{\nu\to\infty} \int_a^b f_\nu (x) dx =\int_a^b f(x) dx. \] Der Sinn von “integrabel” wird hierbei gemäß einer Definition von de la Vallée Poussin in elementarer Weise mit Hilfe des Riemannschen Integralbegriffs auch auf unbeschränkte Funktionen übertragen.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML