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Über das Maximum des absoluten Betrages eines Polynoms in einem gegebenen Intervall. (German) JFM 47.0249.02

Es wird zunächst ein Markoffscher Satz (Abh. Akad. Petersburg 62, 1-24, 1889) im Anschluß an eine Arbeit von M. Riesz (Deutsche Math.-Ver. 23, 354; F. d. M. 45, 405 (JFM 45.0405.*), 1914-15), in etwas einfacherer Weise bewiesen. Derselbe lautet: Ist \(P(x)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades, welches im Intervall -1,1 absolut \(\leqq 1\) ist, so ist \(P'(x)\) im selben Intervall absolut \(\leqq n^2.\) Die Herleitung stützt sich, wie bei Riesz, auf die Lagrangesche Interpolationsformel, wobei die passende Wahl der Interpolationstellen der entscheidende Punkt der Betrachtung ist. Als solche werden hier die Nullstellen des Polynoms \((x^2 -1) T_n'(x)\) gewählt \((T_n(x) = \cos n(\text{arc}\cos x)\) das von Tschebyscheff betrachtete Polynom). Weiter wird gezeigt, daß man für solche innere Stellen des Intervalls -1,1, wo \(| P'(x)|\) ein relatives Maximum besitzt, die Aussage \(| P'(x)|\leqq n^2\) dahin verschärfen kann, daß (für \(n \geqq 3) | P'(x)|\leqq \frac {n^2}2\) ist. Die Zahl \( \frac 12\) ist hier nicht genau. Ist die genaue Schranke \(m_n,\) so werden für \(\mu = \lim\sup_{n =\infty} m_n\) die Abschätzungen \[ \cos \psi_0 =0,217\dots \leqq \mu\leqq \frac {12}{\pi^3} \sum_{\nu =1}^\infty \frac {1}{\nu^3} = 0, 465\dots \] gegeben, wobei \(\psi_0\) denjenigen Wert zwischen 0 und \(\pi\) bezeichnet, für den \(\text{tg}\psi = \pi+ \psi\) ist. In den übrigen Teilen der Arbeit beschäftigt sich der Verf. mit anderen Ergänzungen zu dem A. Markoffschen Sätze, indem er Polynome \(P(x)\) betrachtet, die an einem Endpunkt, oder an beiden Endpunkten, oder endlich im Mittelpunkt des Intervalls -1,1 verschwinden. Im ersten Falle ist z. B. die genaue obere Schranke für \(| P'(x)|\) gleich \[ n^2 \cos^2 \frac \pi{4n}. \] In dem zweiten und dritten Fall wird außerdem der höchste Koeffizient von \(P(x),\) ferner im dritten Fall auch \( \frac {P(x)}{x}\) abgeschätzt.

Citations:

JFM 45.0405.*
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