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Bemerkungen zu einer Arbeit von Herrn Carleman “Über die Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion.”. (German) JFM 47.0257.01

Carleman hat (vgl. F. d. M. 46, 444 (JFM 46.0444.*), 1916-18) gefunden:
1. Es gibt eine reelle stetige Funktion \(F(x),\) deren Fourierkoeffizienten den (größtmöglichen) Konvergenzexponenten 2 haben.
2. Bei allen für \(| z| < 1\) regulären, durch 1 gleichmäßig beschränkten Funktionen \(f (z) =\sum a_\nu z^\nu\) ist die obere Grenze von \(\sum_{\nu =0}^n | a_\nu|,\) \[ G_n \neq o \left( \frac {\sqrt n}{\log n}\right). \]
Verf. weist u. a. darauf hin, daß 2. bereits bekannt ist durch Hardy und Littlewood, die sogar \[ \lim_{\overline {n =\infty}} \frac{G_n}{\sqrt n}>0 \] bewiesen haben, und gibt für 1. und 2. vereinfachte Beweise, indem er die anzuwendenden trigonometrischen bzw. rationalen Hilfspolynome abändert.

Citations:

JFM 46.0444.*
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