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Über Potenzreihen, die im Einheitskreise beschränkte Funktionen darstellen. (German) JFM 47.0274.01

Math Z. 8, 222-236 (1920).
Im Anschluß an Arbeiten von T. Carleman [Acta Math. 41, 377–384 (1918; JFM 46.0444.01)], S. Bernstein [C. R. 158, 1661–1663 (1914; JFM 45.0409.01)] und L. Fejér [Münch. Ber. 1917, 33–50 (1917; JFM 46.0480.02)] werden Potenzreihen \(\sum_{\nu =0}^\infty c_\nu z^nu\) konstruiert, die auf dem Einheitskreise gleichmäßig konvergieren, für die aber die Reihe \(\sum_{\nu =0}^\infty \nu_{\chi}| c_nu|^{2-\delta}\) bei jedem \(0 <\delta \le 1\) und \(\kappa < \frac \delta 2\) divergiert.
Den Ausgangspunkt bildet die Lage: Was ist die obere Grenze der Summe \(| c_0| +| c_1| + \ldots +| c_n|\) bei festem \(n\) für alle Potenzreihen \(\sum_{\nu =0}^\infty c_\nu z^nu= f (z)\), die im Innern des Einheitskreises konvergieren und daselbst der Bedingung \(| f (z)|\le 1\) genügen? Für diese obere Grenze \(\Gamma_n\) werden die Beziehungen bewiesen:
\[ \frac {1}{\sqrt 2}\leqq \varliminf_{n\to\infty} \frac{\Gamma_n}{\sqrt n}, \;\varlimsup_{n\to\infty} \frac{\Gamma_n}{\sqrt n}\le1. \tag{\text{II.}3} \]

MSC:

30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
Full Text: EuDML