Über die obere Grenze des absoluten Betrages einer analytischen Funktion auf Geraden. (German) JFM 47.0274.03

Doetsch, G.

Math. Zeitschr. 8, 237-240 (1920).

Der Hadamardsche Dreikreisesatz wird zu folgender Fassung verallgemeinert: Es sei \(\sigma_1 < \sigma_2 < \sigma_3, f (s)\) für \(\sigma_1 \leqq \sigma \leqq \sigma_3\) regulär, nicht identisch 0 und beschränkt (z. B. eine links über \(\sigma_1\) hinaus absolut konvergente Dirichletsche Reihe); \(L (\sigma)\) bedeute die obere Grenze von \(| f(s)|\) für \({\mathfrak R}(s) = \sigma.\) Dann ist \[ (L(\sigma_2))^{\sigma_3-\sigma_1}\leqq (L(\sigma_1))^{\sigma_3 -\sigma_2} (L(\sigma_3))^{\sigma_2-\sigma_1}, \] d. h. \(\log L(\sigma)\) eine konvexe Funktion von \(\sigma.\)

Reviewer: Landau, Prof. (Göttingen)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.