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Arithmetische Eigenschaften der Reihenentwicklungen rationaler Funktionen. (German) JFM 47.0276.02
Die Abhandlung zerfällt in zwei Teile; im ersten beweist der Verf. sehr einfach und durchsichtig folgenden merkwürdigen Satz:
Besitzt das Integral einer rationalen Funktion eine Potenzreihenentwicklung mit durchweg rational ganzzahligen Koeffizienten, so ist das Integral selber eine rationale Funktion.
Im zweiten Teile geht der Verf. von der Potenzreihenentwicklung einer rationalen Funktion \[ {\mathfrak P}(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac {s_0}{t_0} + \frac{s_1}{t_1}z + \frac{s_2}{t_2} z^2 +\cdots + \frac{s_n}{t_n}z^n +\cdots \] aus und setzt \(s_n, t_n\) als zwei teilerfremde ganze Zahlen voraus \((n = 0, 1, 2, \dots).\) Nach einem bekannten Eisensteinschen Satze sind in \(t_0, t_1, t_2, \dots\) nur endlich viele verschiedene Primfaktoren enthalten. Die Frage ist: Wann gilt das gleiche von \(s_0, s_1, s_2, \dots.\) Die einfache und vollständige Antwort des Verf. lautet: Dann und nur dann, wenn die Reihe \({\mathfrak P}(z)\) aus der geometrischen Reihe \(1 +z + z^2 \cdots \) durch Anwendung einer endlichen Anzahl der folgenden vier Operationen entsteht: \(Op_1({\mathfrak P} (z)) = {\mathfrak P} (z) + P(z),\) wo \(P(z)\) ein Polynom mit rationalen Koeffizienten ist; \(Op_2({\mathfrak P} (z)) = a{\mathfrak P} (z); Op_3({\mathfrak P} (z)) = {\mathfrak P} (bz),\) wo \(a\) und \(b\) irgendwelche rationale Zahlen sind; \(Op_4 ({\mathfrak P}_0 (z), {\mathfrak P}_1(z), \dots, {\mathfrak P}_{m-1} (z)) ={\mathfrak P}_0 (z^m) + z{\mathfrak P}_1 (z^m) + z^2{\mathfrak P}_2(z^m) + \cdots + z^{m-1}{\mathfrak P}_{m-1}(z^m),\) wobei \(m\) irgendeine natürliche Zahl sein kann. Die Wurzeln von \(Q(z)\) sind dann alle voneinander verschieden und alle von der Form \(\root n\of { \frac cd},\) wo \(c, d, n\) ganze rationale Zahlen sind; auch muß der Nenner \(Q(z),\) wenn er nicht vom ersten Grade ist, zwei Wurzeln haben, deren Quotient eine Einheitswurzel ist. Die zwei zuletzt angegebenen notwendigen Bedingungen sind nicht auch hinreichend.

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Full Text: Crelle EuDML