Un théorème sur les séries de Dirichlet et son application. (Swedish) JFM 47.0283.02

Cramér, H.

Ark. för Mat., Astron. och Fys. 13, No. 22, 14 p. (1919).

Die Gedankengänge seiner Dissertation (F. d. M. 46, 489 (JFM 46.0489.*)-490, 1916-18) fortführend, beweist Verf. den folgenden Satz:
Sei \(h(s) \sum_{n =1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s}\) eine für \(\sigma > l \geqq 0\) konvergente Dirichletsche Reihe und \(\varphi (s)\) eine ganze Funktion, die für ein festes, passend gewähltes \(k\) der Bedingung \[ (*) \quad |\varphi(z)| \leqq e^{k| z|} \] genügt.
Es bedeute ferner \(D\) den zusammenhängenden Existenzbereich der Funktion \(h(s)\) und \(D(k)\) die Teilmenge aller Punkte von \(D,\) die vom Rande von \(D\) eine Entfernung \(\geqq k\) haben. Zerfällt \(D(k)\) in mehrere nicht zusammenhängende Teilgebiete, so bedeute \(D'(k)\) dasjenige zusammenhängende Teilgebiet von \(D(k),\) welches die Halbebene \(\sigma > l + k\) enthält.
Bildet man endlich die Dirichletsche Reihe \[ H(s) =\sum a_n \varphi(\lambda_n)e^{-\lambda_n s}, \] so konvergiert sie für \(\sigma > l + k,\) und außerdem ist \(H(s)\) regulär in jedem inneren Punkt von \(D'(k).\)
Ist ferner \(h(s)\) in der Umgebung der Stelle \(s = s_0\) in eine für \(0 < | s-s_0|< R\) konvergente Laurent-Reihe entwickelbar, deren Glieder mit negativem Exponenten nicht sämtlich verschwinden, so besitzt \(H(s),\) wenn \(k < \frac R2\) und \(\varphi (z)\) nicht identisch 0 ist, für \(| s-s_0|\leqq k\) mindestens einen singulären Punkt.
Aus diesem Satze werden nun mannigfache Folgerungen gezogen:
Ist die Reihe \(\sum_{n =1}^\infty \frac {1}{\lambda_n}\) konvergent, so kann die Dirichletsche Reihe \(h(s) =\sum_{n =1}^\infty a_n e^{-\lambda_n s}\) auf ihrer Konvergenzgeraden weder Pole noch isolierte wesentliche Singularitäten besitzen.
Dies sieht man ein, indem man die Funktion \(H(s)\) des Hauptsatzes mit \(\varphi(z) =\prod_{n =1}^\infty \left( 1- \frac {z}{\lambda_n}\right)\) bildet, und berücksichtigt, daßdann \(\varphi (z)\) der Bedingung \((*)\) für jedes noch so kleine positive \(k\) genügt.
Eine weitere Folgerung verallgemeinert bereits bekannte Sätze über ganze Funktionen:
Ist \(h(s)\) in der Umgebung der singulären Stelle \(s = s_0\) der Konvergenzgeraden in eine für \(0 <| s-s_0|< R\) konvergente Laurentreihe entwickelbar, so ist jede ganze Funktion \(\varphi (z),\) die gleichzeitig der Bedingung \((*)\) für \(k < \frac R2\) genügt und für alle \(z = \lambda_n (n = 1, 2\dots), \lambda_n \to \infty,\) verschwindet, identisch Null.
Wählt man speziell \(h(s) =\sum_{n =1}^\infty e^{-ns} = \frac 1{e^s -1},\) so wird \(s_0 = 0, R = 2\pi.\) Man wird dann auf zwei Sätze von Wigert (F. d. M. 46, 505 (JFM 46.0505.*), 1916-18) geführt.

Reviewer: Hamburger, Prof. (Köln)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.

Citations:

JFM 46.0489.*; JFM 46.0505.*