On the boundary values of an analytic function. (Über die Randwerte einer analytischen Funktion.) (German) JFM 47.0295.03

Riesz, Frederic; Riesz, Marcel

Quatrième congrès des math. scand. 1916, 27-44 (1916).

P. Fatou hat in seiner Thèse [Acta Math. 30, 335–400 (1906; JFM 37.0283.01)] bewiesen, daßbei einer im Einheitskreis regulären und beschränkten Funktion, die nicht identisch verschwindet, die bis auf eine Nullmenge existierenden Randwerte nicht auf einem ganzen Bogen, bzw. auf einem maßgleichen Teil eines solchen Bogens verschwinden können. Die Verf. zeigen zunächst durch eine einfache Überlegung, daßdie Gesamtheit der Nullstellen dieser Randwerte höchstens eine Menge vom Maße 0 ausmachen kann. Ähnliches gilt für Funktionen, deren \(p\)-te Potenz \((p > 1)\) auf den konzentrischen Kreisen \(| z|= r < 1\) einen beschränkten Mittelwert hat. Viel tiefer liegt hingegen die weiter bewiesene Tatsache, daßdiese Ergebnisse auch für \(p = 1\) in Gültigkeit bleiben. Sind nämlich die gelegentlich von Hardy betrachteten Mittelwerte \[ \int_{| z| =r} | f(z)| | dz| \] beschränkt für \(r < 1,\) so existiert \(\lim_{r =1} f(re^{i \theta })\) für fast alle \(\theta\) und stellt eine im Lebesgueschen Sinne integrable Funktion dar, die (außer bei \(f (z) \equiv 0)\) nur auf einer Nullmenge verschwinden kann. Die Verf. geben diesen Betrachtungen einen geometrischen Charakter, wodurch sich die Resultate als Aussagen über die durch solche Funktionen ermittelten Abbildungen formulieren lassen. Es sei noch der folgende Satz erwähnt: Ist \(f(z) =\sum_{n =0}^\infty a_n z^n\) von beschränktem “Hardyschen Mittelwerte”, so ist \(\lim_{n =\infty}a_n = 0.\)

Reviewer: Szegö, Prof. (Berlin)

MSC:

30Exx

Miscellaneous topics of analysis in the complex plane

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.

Citations:

JFM 37.0283.01