×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über ganze transzendente Funktionen mit reellen Nullstellen. (German) JFM 47.0298.03
Math. Anu. 81, 97-118 (1920).
Verf. gibt einen einfacheren Weg an, um zum schönsten Resultat (nicht Hauptresultat) der Grommerschen Dissertation (F d. M. 45, 650, 1914-15) zu gelangen: Es sei \(g(x)\) eine reelle ganze Funktion, \[ g(0) \neq 0\text{ und } \frac{g'}{g} (x) =-\sum_{n =1}^\infty s_n x^{n-1}. \] Dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(g(x)\) unendlich viele, durchweg reelle Nullstellen hat und bis auf einen Faktor \(e^{\gamma x^{2m}} (\gamma \geqq 0)\) vom Geschlecht \(\leqq 2m-1\) ist \((m \geqq 1):\) Die quadratische Form \(\sum_{i, k = 0}^r s_{2m +i +k} u_i u_k\) ist für jedes \(r \geqq 0\) positiv definit.
Der Beweis der Notwendigkeit ist leicht. Für den Beweis der Hinlänglichkeit verwendet Verf. Anregungen von Pólya. Die Schwierigkeit besteh darin, die Realität der Nullstellen und die obere Schranke \(2m\) fürs Geschlecht zu erschließen (was mit Hilfe der approximierenden rationalen Funktionen gelingt); der Rest geht elementar.

Full Text: Link EuDML