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Les théorèmes généraux de M. Borel dans la théorie des fonctions entières. (French) JFM 47.0301.01

Ausführliche Darstellung der Resultate, die der Verf. bereits in zwei C. R.-Noten (166, 605, 167, 988, vgl. F. d. M. 46, 508 (JFM 46.0508.*), 1916-18) veröffentlicht hat. Es wird hier gezeigt, daß eine Reihe von asymptotischen Beziehungen, die nach Borel und Wiman zwischen \(M(r) =\text{Max}| f (z)|, A(r) =\text{Max} {\mathfrak R} f (z), M'(r) =\text{Max}| f'(z)| (| z| = r)\) und zwischen dem Maximalglied \(m(r)\) der Taylorschen Reihe \(f (z) =sum_{n =0}^\infty c_n z^n\) stattfinden, in einem viel präziseren Sinne gelten, nämlich nicht nur für unendlich viele \(r,\) sondern für alle, abgesehen ev. von solchen, für die die Totalvariation von \(\log r\) endlich bleibt. Der Verf. leitet diese Verschärfungen ganz elementar aus der Betrachtung des,,Newtonschen Polygons” (bestimmt durch die Ecken \(x_n = n, y_n = \log \frac {1}{| c_n|}, n = 0,1, 2, 3, \dots)\) ab. Hierbei ergibt sich – wie bei Wiman – auch ein neuer Beweis des Picardschen Theorems, der sich eigentlich noch elementarer als der Wimansche gestaltet. Ein Teil der Ergebnisse läßt sich auch auf Potenzreihen mit endlichem Konvergenzradius übertragen. Diese Sätze stehen in naher Beziehung zu dem Schottkyschen Theorem. Endlich sei die folgende Ergänzung zu einem Juliaschen Satze (vgl. das Ref. auf S. 312) erwähnt: Man teile die komplexe Ebene in Winkelräume von beliebig kleiner Öffnung \( \frac \pi k\) ein. Eine gegebene ganze Funktion unendlicher Ordnung \(f (z)\) nimmt in jedem dieser Winkel sämtliche Werte mit ev. Ausnahme eines einzigen an, und zwar unendlich oft, vorausgesetzt, daß in dem betreffenden Winkel unendlich oft \[ | f(z)|> A| z|^{4k} \] ist, wie auch die positive Konstante \(A\) gewählt werden mag.

Citations:

JFM 46.0508.*
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Full Text: DOI Numdam EuDML