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Geometrisches über die Verteilung der Nullstellen gewisser ganzer transzendenter Funktionen. (German) JFM 47.0303.04
Münch. Ber. 1920, 285-290 (1920).
Es sei \[ F(z) = P_1 (z) e^{a_1z} +P_2(z)e^{a_2z} +\cdots +P_m(z) e^{a_m z}, \] wo \(a_1, a_2, \dots, a_m\) voneinander verschiedene Konstanten und \(P_1 (z), P_2(z), \dots, P_m(z)\) Polynome sind \((m > 1). \overline a_1, \overline a_2, \dots, \overline a_m,\) seien die zu \(a_1, a_2, \dots, a_m\) konjugiert komplexen Zahlen, \(\overline A\)t das kleinste konvexe Polygon in der komplexen: Ebene, das die \(m\) Punkte \(\overline a_1, \dots, \overline a_m,\) umfaßt. Dann häufen sich die Radienvektoren der Nullstellen der Funktion \(F(z)\) gegen die Halbstrahlen, die den äußeren Normalen des Polygons \(A\) parallel sind. Ist \(s\) die Länge einer bestimmten Seite des Polygons \(A,\) so ist die Anzahl der Nullstellen, die sich der zu dieser Seite senkrechten Richtung anschließen und einen absoluten Betrag unterhalb \(r\) haben, asymptotisch gleich \( \frac {rs}{2\pi} +O(\log r).\) Sind \(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \dots \) die Nullstellen von \(F(z)\) und ist \(0 < |\alpha_1| <|\alpha_1|\leqq |\alpha_3|\leqq \dots,\) so ist \[ F(z) =F(0) e^{az} \left( 1- \frac{z}{\alpha_1}\right)\left(1- \frac{z}{\alpha_2}\right)\left(1-\frac{z}{\alpha_3}\right)\dots . \] Die zu \(a\) konjugiert komplexe Zahl \(\overline a\) wird in der komplexen Ebene durch den sog. Krümmungsschwerpunkt des Polygons \(\overline A\) dargestellt.