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Über Extremumsätze bei der konformen Abbildung des Äußeren des Einheitskreises. (German) JFM 47.0325.02

Die Hauptresultate der Arbeit sind in folgenden Sätzen enthalten: Bildet \(f (z) = z + \frac {c_1}{z} + \frac {c_2}{z} +\cdots\) das Äußere des Einheitskreises \(| z|= 1\) schlicht ab, so gelten folgende Abschätzungen: \[ \begin{aligned} (1) \quad 1- \frac {1}{| z|^2} \leqq| f'(z)|&\leqq \frac {1}{1 - \frac 1{| z|^2}},\\ (2)\quad | f(z)|&\leqq | z| + \frac {1}{| z|}.\end{aligned} \] Für die Minimaldistanz \(\delta\) von \(f(z)\) vom Rande des Bildbereichs gelten die Ungleichungen \[ (3)\quad | z| + \frac{1}{| z|}-2\leqq \delta\leqq | z|. \] Bei konvex abbildenden Funktionen (Abbildungen auf Bereiche, deren Komplement konvex ist), kann man folgende schärfere Aussagen machen: \[ \begin{aligned} (1')\quad 1- \frac {1}{| z|^2}&\leqq | f'(z)|\leqq 1 + \frac {1}{| z|^2},\\ (2')\quad | z| - \frac {1}{| z|}&\leqq | f(z)|\leqq | z| + \frac {1}{| z|},\\ (3')\quad | z| + \frac {1}{| z|}-2&\leqq \delta\leqq | z|- \frac {1}{| z|}.\end{aligned} \] Alle Schranken mit Ausnahme der oberen Schranken in (1) und (3) werden nur bei der Funktion \(f (z) = z + \frac \varepsilon z (|\varepsilon| =1)\) erreicht die letzteren nur bei \(f(z) =z- \frac 1\varepsilon \left(\varrho- \frac 1\varrho\right) \frac 1{\varrho\varepsilon z-1}(\varrho>1).\)
Die Abschätzung in (1) nach unten fließt aus dem allgemeineren Satz: Bei festem Arcus von \(z\) ist \(\frac {| f'(z)|}{1- \frac {1}{| z|^2}}\) eine abnehmende Funktion von \(| z|.\) Nur bei \(f (z) = z + \frac \varepsilon z,\) \(\text{arc}z = \frac 12\text{arc}\varepsilon\) ist sie konstant.
Bei Ableitung der Ungleichungen stützt sich der Verf. auf die Kenntnis der scharfen Schranken im Koebeschen Verzerrungssatz sowie die Bieberbach-Faberschen Flächensätze. (Vgl. F. d. M.46, 550-553, 1916-18, JFM 46.0550.01 and JFM 46.0550.02)

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