×

On the connexion between Legendre series and Fourier series. (English) JFM 47.0336.02

Es sei \(f (\cos \theta)\) im Lebesgueschon Sinne integrabel für \(0 \leqq \theta \leqq 2\pi\) und \[ (1) \quad \sum_{n =0}^\infty a_n P_n(x),\;a_n =(n + \frac 12)\int_{-1}^1f(t)P_n(t) dt, \] seine Entwicklung in eine Legendresche Reihe. Zur Konvergenz von (1) an irgend einer Stelle \(x\) im Innern des Intervalles \(-1,1\) ist jedenfalls notwendig; daß \[ (2) \quad \lim_{n =\infty}n^{- \frac 12}a_n =0 \] ist. Es wird nun gezeigt, daßsobald diese Bedingung erfüllt ist, die Reihe (1) sich bezüglich Konvergenz, Summabilität usw. ganz so verhält, wie die Fouriersche Reihe von \(f (\cos \theta);\) u. zw. gilt dies in jedem inneren Punkt des Intervalls \(-1,1\). Es konvergiert nämlich die Differenz der \(n\)-ten Partialsummen der beiden Entwicklungen für \(n \to \infty\) gegen Null.
Dieser Satz, der für quadratisch integrable Funktionen bereits früher durch Haar bewiesen worden ist (Math. Ann. 78, 121; F. d. M. 46, 571 (JFM 46.0571.*), 1916-18; vgl. auch die vorläufige Mitteilung des Verf. im C. R. 165, 696; F. d. M. 46, 570 (JFM 46.0570.*), 1916-18) wird hier in dem oben gesagten Umfange gezeigt, u. zw. mit Benutzung des vom Verf. in die Theorie der Fourierschen Reihen mit Erfolg eingeführten Begriffes der “restricted Fourier-series”. Außerdem gebraucht er ganz wesentlich die Heinesche asymptotische Formel von \(P_n(\cos \theta),\) mit der übrigens auch Haar operiert. Der Hauptsatz gilt in passender Formulierung auch für Reihen \(\sum_{n =\infty}^\infty a_n P_n(x),\) die formal (nicht mit den Legendreschen Konstanten einer integrablen Funktion) gebildet werden, vorausgesetzt, daß(2) gilt. Zahlreiche Anwendungen werden gemacht. In einem Anhang wird direkt (ohne Benutzung) des Hauptsatzes) bewiesen, daßdas Verhalten der Reihe (1) in einem innert Punkt des Intervalles \(-1,1\) nur von dem Verhalten von \(f (x)\) in der Umgebung dieses Punktes abhängt, vorausgesetzt, daß(2) erfüllt ist. (IV 3 D.)

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI