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On the summability of the developments in Bessel’s functions. (English) JFM 47.0343.02

Es sei \(J_\nu(x)\) die \(\nu\)-te Besselsche Funktion \((\nu\geqq 0), h\) und \(l\) zwei beliebige Konstanten, die nicht beide verschwinden, \(\lambda_1, \lambda_2, \dots,\lambda_n,\dots \) die unendlich vielen positiven Wurzeln der Gleichung \[ (1)\quad l\lambda J_\nu' (\lambda) + hJ_\nu(\lambda) = 0. \] Während die Konvergenz- und Summabilitätseigenschaften der Entwicklung \[ (2) \quad \sum_{n =0}^\infty A_n J_\nu (\lambda_n x), \;A_n\int_0^1 x[J_\nu(\lambda_n x)]^2dx =\int_0^1 xf(x) J_\nu(\lambda_n x)dx \] einer Funktion \(f(x)\) für \(x > 0\) ausführlich untersucht worden sind (vgl. z. B. C. N. Moore, American M. S. Trans. 10, 391, 12, 181; F. d. M. 40, 507 (JFM 40.0507.*), 1909, 42, 490, 1911, ferner auch W. H. Young, Lond. M. S. Proc. (2) 18, 163; Ref. vorstehend), scheint die entsprechende Frage für \(x = 0\) bisher nur wenig Beachtung gefunden zu haben. Der Verf. gibt in der vorliegenden Arbeit hinreichende Bedingungen für die Cesàrosche Summabilität von (2) an der Stellen \(x = 0,\) bzw. für die gleichmäßige Summabilität in der Umgebung von \(x = 0.\) Die Haupttheoreme, denen eine Anzahl von Hilfssätzen über trigonometrische; Reihen und Integrale vorangeht, lauten folgendermaßen:
1. Die Entwicklung (2) ist gewiß summabel \((C, \frac 12)\) für \(x = 0,\) wenn \(\Phi(x) = f (x) - f (0) (L)\)- integrabel ist, und wenn man bei passendem \(\varrho > 0\) in einer Umgebung des Nullpunktes \[ \Phi(x) = O(x^{ \frac 12 +\varrho}) \] hat (für \(\nu > 0\) ist dies trivial).
2. Die Entwicklung (2) ist gleichmäßig summabel \((C, \frac 12)\) in einer rechten Umgebung von \(x = 0,\) wenn entweder \(\nu = 0\) oder \(f (0) = 0\) ist, wenn ferner außer den Bedingungen von 1. noch die folgenden erfüllt sind:
a) mit \(\chi(y) = \sqrt y(f (y) - f (0))\) existiert das Integral \[ \int_0^u \frac{\chi(x +2t)-2\chi(x) +\chi(x-2t)}{t^2}dt \] und konvergiert gleichmäßig für \(0 < x \leqq c\) mit \(u\) gegen 0; \[ \text{b})\quad \chi_1(x, u) = \frac 1u \int_0^u \frac{\chi(x +2t)-\chi(x-2t)}{t} dt \] existiert und seine totale Variation im Intervall \(0 \leqq u \leqq \gamma\) konvergiert mit \(\gamma\) gegen 0, gleichmäßig für \(0 < x \leqq c.\)

Citations:

JFM 40.0507.*
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