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Ein Satz über die Abelschen Integrale 1. Gattung. (German) JFM 47.0351.02

Die \(2\)p Perioden \({\mathfrak A}_\nu, {\mathfrak B}_\nu (nu =1, \dots, p)\) eines Abelschen Integrals erster Gattung vom Geschlechte \(p\) genügen bekanntlich der Relation \[ (R) \quad i\sum_{\nu =1}^p ({\mathfrak A}_\nu \overline{\mathfrak B}_\nu - \overline{\mathfrak A}_\nu{\mathfrak B}_\nu)>0, \] unter \(\overline{\mathfrak A}_\nu\) die zu \({\mathfrak A}_\nu\) konjugiert komplexe Zahl verstanden. Es stellt somit \((R)\) eine notwendige Bedingung dar für die Existenz einer Riemannschen Fläche vom Geschlechte \(p,\) auf welcher ein Abelsches Integral erster Gattung mit den vorgegebenen Zahlen \({\mathfrak A}_\nu, {\mathfrak B}_\nu\) als Perioden sich vorfindet. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß \((R)\) im eben dargelegten Sinne auch hinreichende Bedingung ist, daß also jedes, der Bedingung \((R)\) genügende System von \(2p\) komplexen Konstanten als Periodensystem eines Abelschen Integrals erster Gattung vom Geschlechte \(p\) wirklich auftritt. Als einzige Ausnahme ergibt sich der Fall, daß für \(p\geqq 2\) das vorgegebene System \({\mathfrak A}_1, \dots {\mathfrak B}_p\) einem System “äquivalent” ist, für welches sämtliche Größen \({\mathfrak A}_\nu, {\mathfrak B}_\nu\) mit Ausnahme eines einzigen Paares, z. B. \({\mathfrak A}_1, {\mathfrak B}_1\) verschwinden. Dabei heißen zwei Periodensysteme äquivalent, wenn sie auseinander durch eine ganzzahlige lineare Periodentransformation (Querschnittänderung) hervorgehen. Im Ausnahmefall ist jedes etwa zum gegebenen Periodensystem gehörige Integral ein elliptisches. Das gewonnene Ergebnis ergänzt den Satz von Koebe (Unif. d. algebr. Kurven IV, Math. Ann. 75, 1914), daß die Gesamtheit der Periodensysteme der Abelschen Integrale erster Gattung vom Geschlechte \(p\) ein offenes, zusammenhängendes Kontinuum bilden; denn es bestimmt die vollständige Begrenzung dieses Kontinuums.
Der Beweis wird erbracht durch Reduktion aller Periodensysteme auf gewisse Normalformen, für welche sich zugehörige Riemannsche Flächen bzw. Parallelogrammfiguren unmittelbar konstruieren lassen.

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