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Abelsche Funktionen und allgemeine Thetafunktionen. (German) JFM 47.0362.04
Encykl. d. math. Wiss. IIB 7, 604-873 (1920).
Inhaltsübersicht: I. Das Jacobische Umkehrproblem in der Zeit vor Riemann. 1. Das Jacobische Umkehrproblem. 2. Abelsche Funktionen. 3. Jacobi. 4. Umkehrung eines einzelnen Abelschen Integrals. 5. Göpel. 6. Rosenhain. 7. Weierstraß (ältere Arbeiten). 8. Hermite. – II. Die Transformation der Perioden. 9. Transformationsproblem. 10. Zusammensetzung von Transformationen. 11. Multiplikation und Division. 12. Zusammensetzung einer linearen ganzzahligen Transformation aus einfachen. 13. Reduktion nichtlinearer ganzzahliger Transformationen. 14. Krazer-Prymsche Zusammensetzung einer Transformation aus elementaren. – III. Die allgemeinen Thetafunktionen mit beliebigen Charakteristiken. 15. Allgemeine Thetafunktionen. 16. Einführung der Charakteristiken. 17. Thetafunktionen höherer Ordnung. 18. Die Transformation der Thetafunktionen. 19. Die ganzzahlige Transformation. 20. Die lineare ganzzahlige Transformation. 21. Zusammensetzung von Transformationsformeln. IV. Die allgemeinen Thetafunktionen mit halben Charakteristiken. 22. Thetafunktionen mit halben Charakteristiken. 23. Periodencharakteristiken. 24. Thetacharakteristiken. 25. Beziehungen zwischen Periodencharakteristiken und Thetacharakteristiken. 26. Fundamentalsysteme von Periodencharakteristiken. 27. Fundamentalsysteme von Thetacharakteristiken. 28. Gruppen von Periodencharakteristiken. 29. Systeme von Thetacharakteristiken. 30. Änderung des Querschnittsystems einer Riemannschen Fläche. 31. Die Gruppe der mod. 2 inkongruenten Transformationen. 32. Monodromie der Verzweigungspunkte. 33. Thetafunktionen höherer Ordnung mit halben Charakteristiken. 34. Thetarelationen. Die algebraische Mannigfaltigkeit \(M_p\). 35. Additionstheoreme der Thetaquotienten. 36. Die Riemannsche Thetaformel. 37. Das Additionstheorem der allgemeinen Thetafunktionen für \(p \geqq 3.\) 38. Weitere Folgerung aus der Riemannschen Thetaformel. – V. Die allgemeinen Thetafunktionen mit \(r^{\text{tel}}\) Charakteristiken. 39. Die Funktionen \(\vartheta[\varepsilon]_r ((v)).\) 40. Periodencharakteristiken \((\varepsilon)_r.\) 41. Thetacharakteristiken \([\varepsilon]_r.\). 42. Relationen zwischen den Funktionen \(\vartheta[\varepsilon]_r ((v)).\) 43. Verallgemeinerung der Riemaneschen Thetaformel. 44. Auftreten der Funktionen \(\vartheta[\varepsilon]_r ((v))\) bei nicht ganzzahliger linearer Transformation der Thetafunktionen. 45. Die Krazer-Prymsche Fundamentalformel für die Theorie der Thetafunktionen mit rationalen Charakteristiken. – VI. Das Jacobische Umkehrproblem bei Riemann, Clebsch und Gordan und in den Vorlesungen von Weierstraß. 46. Riemann. 47. Clebsch und Gordan. 48. Weierstraß (Vorlesungen). – VII. Die Abelschen Transzendenten zweiter und dritter Gattung. Wurzelfunktionen und Wurzelformen. Lösungen des Umkehrproblems. 49. Die Abelschen Transzendenten zweiter und dritter Gattung. 50. Eigenschaften der Funktionen \(Z_\alpha((w))\) und \(P_{\alpha \beta}((w)).\) 51. Darstellung der Abelschen Transzendenten dritter und zweiter Gattung durch Thetafunktionen. 52. Lösung des Umkehrproblems. 53. Darstellung eines einzelnen Integrals dritter und zweiter Gattung durch Thetafunktionem 54. Thetaquotienten und Funktionen der Klasse. 55. Zweite Form für die Lösung des Umkehrproblems. 56. Thetaquotienten und Wurzelfunktionen, deren Zuordnung zu den Periodencharakteristiken. 57. Thetafunktionen und Wurzelformen; deren Zuordnung zu den Thetacharakteristiken. 58. Die Ausnahmefälle. 59. Algebraische Darstellung eines Quotienten von Thetafunktionen, deren Argumente Summen von je \(p +1\) Integralen sind. 60. Irrvariante Darstellung. 61. Algebraische Darstellung eines Thetaquotienten, dessen Argumente Summen von je \(n(2p - 2)\) Integralen sind. 62. Noethers Lösung des Umkehrproblems. 63. Symmetrische Riemanesche Flächen. Realitätsverhältnisse der \(\varphi.\) 64. Kleins Theorie der Abelschen Funktionen. 65. Die Prymschen Funktionen. – VIII. Der Fall \(p = 2\). 66. Charakteristikentheorie. 67. Thetarelationen. 68. Die Kummersche Fläche. 69. Die Weddlesche Fläche. 70. Thetanullwerte. 71. Übergang von den Thetafunktionen zum algebraischen Gebilde. 72. Anwendungen. 73. Das Borchardtsche arithmetisch-geometrische Mittel aus vier Elementen. – IX. Der hyperelliptische Fall. 74. Das Verschwinden der hyperelliptischen Thetafunktionen. 75. Zuordnung der Wurzelfunktionen zu den Periodencharakteristiken. 76. Zuordnung der Wurzelformen zu den Thetacharakteristiken. 77. Darstellung von Thetaquotienten durch Wurzelfunktionen. 78. Fortsetzung. 79. Lösung des Jacobischen Umkehrproblems. 80. Additionstheorem der hyperelliptischen Thetafunktionen. 81. Verallgemeinerung der Rosenhainschen Differentialformeln. 82. Anwendungen. 83. Bestimmung von \(d \log \vartheta ((0))\) durch die Klassenmoduln im allgemeinen Falle. 84. Integration der erhaltenen Gleichung im hyperelliptischen Falle. – X. Der Fall \(p = 3.\) 85. Chasakteristikentheorie. 86. Thetarelationen. 87. Thetanullwerte. 88. Riemann-Weber. 89. Die Wurzelformen zweiter und dritter Dimension. 90. Schottky-Frobenius. – XI. Der Fall \(p= 4.\) 91. Noether. 92. Schottky. – XII. Kleins Sigmafunktionen. 93. Vorbemerkung. 94. Hyperelliptische \(\sigma\)-Funktionen. 95. Funktionen erster Stufe. 96. Funktionen zweiter Stufe. 97. Die Funktionen \(X_{\alpha\beta}, Y_{\alpha\beta}, Z_{\alpha\beta}.\) 98. Die Borchardtschen Module. 99. Auflösung der Gleichung sechsten Grades. 100. Der besondere Fall \(p = 3\) in Kleins Theorie der Abelschen Funktionen. 101. Wirtingers Lösung des Umkehrproblems im Falle \(p = 3.\) 102. Die Wiltheißschen Differentialgleichungen und die Reihenentwicklungen der \(\sigma\)-Funktionen. 103. Weitere Differentialgleichungen im Gebiete der Thetafunktionen zweier Veränderlichen. – XIII. Erweitertes Umkehrproblem und Teilung. 104. Clebsch und Gordans erweitertes Umkehrproblem. 105. Zur Geschichte des erweiterten Umkehrproblems. 106. Lindemanns Verallgemeinerung des Jacobischen Umkehrproblems. 107. Das Teilungsproblem; bei Clebsch und Gordan. 108. Zurückführung des allgemeinen Teilungsproblems auf das spezielle. 109. Reduktion des speziellen Teilungsproblems. 110. Monodromiegruppe der Teilungsgleichung. 111. Zweiteilung. – XIV. Periodische Funktionen mehrerer Veränderlichen. 112. Die allgemeinen \(2p\)-fach periodischen Funktionen von \(p\) Veränderlichen. 113. Die Riemann-Weierstraßschen Sätze. 114. Riemannsche Matrizen. 115. Darstellung der allgemeinen \(2p\)- fach periodischen Funktionen durch Thetafunktionen.; 116. Jacobische Funktionen. 117. Die Weierstraßschen mehrdeutigen Umkehrprobleme. 118. Die Wirtingerschen Lösungssätze. – XV. Reduzierbare Abelsche Integrale. 119. Allgemeine Sätze über reduzierbare Abelsche Integrale. 120. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische. 121. Der spezielle Fall \(p = 2.\) 122. Reguläre Riemannsche Flächen. 123. Schottkys Symmetralfunktionen. 124. Wirtingers Thetafunktionen mit \(3p\) Parametern: – XVI. Multiplikabilität und Singularität. 125. Die prinzipale Transformation der Thetafunktionen mehrerer Veränderlichen. 126. Die singulären Funktionen Humberts. 127. Heckes Untersuchungen über 4-fach periodische Funktionen. 128. Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen 129. Anwendungen der Thetafunktionen auf die Heckeschen Zetafunktionen. 130. Die hyperelliptischen Flächen.