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Zur Theorie der Summengleichungen. (German) JFM 47.0377.02
Unter einer Summengleichung versteht man nach Horn das lineare Gleichungssystem \[ x_\nu -a_{\nu 1}x_{\nu +1}-a_{\nu2}x_{\nu +2}-\cdots =c_\nu\;(\nu =0,1,2,\dots). \] Die homogene Summengleichung (d. h. bei der \(c_\nu = 0\) ist) läßt sich als Jacobi-Kette unendlich hoher Ordnung auffassen. Verfasser entwickelt daher zunächst dnen Formelapparat, der dem der Jacobi-Ketten endlicher Ordnung analog ist. Sodann wird z. B. folgender Satz bewiesen:
Die inhomogene Summengleichung \[ x_\nu =x_{\nu +k} +\sum_{\mu =1}^\infty b_{\nu\mu}x_{\mu +\nu}c_\nu\;(\nu =0,1,2,\dots) \] hat, wenn die Reihe \(\sum| c_\nu|\) und die Doppelreihe \(\varSigma |b_{\nu, \mu}|\) konvergieren, genau eine Lösung, für die \(\lim_{\nu \to \infty}x_\nu= 0\) ist. Unter der gleichen Voraussetzung über die \(b_{\nu, \mu}\) hat die homogene Summengleichung \((c_\nu= 0)\) genau \(k\) linear unabhängige beschränkte Lösungen, und zwar gibt es zu jeder der Zahlen \(\kappa = 0, 1,\dots, k -1\) eine Lösung \(x_\nu,\) die den Forderungen genügt: \[ \begin{aligned} \lim_{\mu\to\infty}x_{\chi +\mu k}& =1,\\ \lim_{\mu\to\infty} x_{\lambda +\mu k}& =0\text{ für } \lambda\not\equiv (\text{mod. }k).\end{aligned} \] (IV 11.)

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